En trigonométrie, l’arccosinus est défini comme la fonction inverse du cosinus d’un angle. Si l’on a
arccos
α
{displaystyle \arccos \alpha \,}
sa signification géométrique est l’arc dont le cosinus est alpha.

La fonction cosinus n’est pas bijective, elle n’a donc pas d’inverse. Il est possible de lui appliquer une restriction de domaine afin qu’elle devienne injective et surjective. Par convention, il est préférable de restreindre le domaine de la fonction cosinus à l’intervalle

[
0
,
π
]
{ « displaystyle ».}

Notation

La notation mathématique de l’arccosine est arccos ; l’orthographe ambiguë cos-1 est courante. Dans divers langages de programmation, la forme ACOS et ACS est couramment utilisée.

Propriétés

L’arccosine d’une fonction continue est strictement décroissante, définie par toutes les valeurs de l’intervalle

[
–
1
,
1
]
{ « displaystyle ».}
:

Son graphe est symétrique par rapport au point

(
0
,
π
2
)
{« displaystyle » (0, {« frac »).
où :

La dérivée de la fonction arccosine est

Grâce au guide symétrique décrit, la relation par arguments négatifs est valide :
Il est possible de combiner la somme ou la différence des arccosines dans une expression où l’arccosine figure une rotation :

Série de puissance

Le développement en série de l’arccosinus est donné par :

Notez que ce développement n’est valable que lorsque l’angle est exprimé en radians.

Le changement t=s² donne ce développement :

Puisque :

En intégrant terme à terme la deuxième série, on obtient le développement en série de l’arccosinus :

Applications

Dans un triangle rectangle, l’arccosinus est l’expression en radians de l’angle aigu correspondant au rapport de sa branche adjacente à l’hypoténuse.

Voir aussi

Liens externes

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