Un ensemble flou est un ensemble qui peut contenir des éléments sous une forme partielle, c’est-à-dire la propriété qu’un élément d’un ensemble flou ne peut contenir que des éléments partiels, c’est-à-dire qu’un élément d’un ensemble flou ne peut contenir que des éléments partiels.
x
{displaystyle x}
appartient à l’ensemble
A
{\displaystyle A}
(
x
∈
A
{style d’affichage x ∈ A}
) peut être vrai avec un degré de vérité partiel. Ce degré d’appartenance est une proposition dans le contexte de la logique floue, et non de la logique binaire habituelle, qui n’admet que deux valeurs : vrai ou faux.
Le degré d’appartenance de
x
{displaystyle x}
a
A
{\displaystyle A}
ou le degré de vérité de l’appartenance à l’ensemble, est mesuré par un nombre réel
μ
A
(
x
)
{« displaystyle », μ A ( x)}
entre 0 et 1 inclus. Au sens strict, la valeur correspondant à chaque élément définit une fonction indicatrice
μ
A
(
x
)
:
X
→
[
0
,
1
]
{ {displaystyle \mu _{A}(x):X\rightarrow }
où
X
{ {displaystyle X}
représente l’ensemble universel à partir duquel l’ensemble
A
{style d’affichage A}
prend ses éléments. C’est pourquoi on parle généralement de sous-ensembles flous plutôt que d’ensembles flous.
Si la valeur de cette fonction est 0,
x
{displaystyle x}
n’appartient pas à
A
{style d’affichage A}
. S’il vaut 1, alors
x
∈
A
{style x ∈ A}
entièrement, et si
0
μ
A
(
x
)
1
{displaystyle 0
x
{style x}
appartient à
A
{displaystyle A}
de manière partielle.
Histoire
La théorie des sous-ensembles flous a été développée par Lofti A. Zadeh en 1965 afin de représenter mathématiquement l’imprécision intrinsèque de certaines catégories d’objets.
Les sous-ensembles flous (ou parties floues d’un ensemble) permettent de modéliser la représentation humaine de la connaissance (par exemple pour mesurer notre ignorance ou notre imprécision objective) et ainsi d’améliorer les systèmes de décision, d’aide à la décision et d’intelligence artificielle.
Opérations
Les mêmes actions peuvent être effectuées avec des ensembles flous qu’avec des ensembles classiques. Étant deux ensembles flous
A
{\displaystyle A}
y
B
{\displaystyle B}
les opérations habituelles sont définies.
Autres concepts
Un ensemble flou est donc équivalent, en termes d’information, à une famille infinie non dénombrable d’ensembles classiques. La théorie des sous-ensembles flous est donc très différente et beaucoup plus complexe que la théorie des ensembles classiques. Par exemple, un ensemble classique fini a un nombre fini de sous-ensembles classiques, mais un nombre infini de sous-ensembles flous.