L’équation de Dirac est une équation d’onde relativiste de la mécanique quantique formulée par Paul Dirac en 1928. Elle donne une description des particules élémentaires de spin 1/2 masse, comme l’électron, et est cohérente avec les principes de la mécanique quantique et la théorie de la relativité restreinte, expliquant naturellement l’existence du spin et des antiparticules. Cependant, elle n’est qu’une approximation de l’électrodynamique quantique, qui décrit l’interaction des particules chargées par des interactions électriques.
Forme de l’équation
L’équation de Dirac ayant été formulée à l’origine pour décrire l’électron, il sera fait référence aux électrons, bien que l’équation soit désormais appliquée à d’autres types de particules élémentaires de spin ½, telles que les quarks. Une équation de Dirac modifiée peut être utilisée pour décrire approximativement les protons et les neutrons, tous deux constitués de particules plus petites appelées quarks (pour cette raison, les protons et les neutrons ne sont pas considérés comme des particules élémentaires).
L’équation de Dirac a la forme suivante :
(
α
0
m
c
2
+
∑
j
=
1
3
α
j
p
j
c
)
ψ
(
x
,
t
)
=
i
ℏ
∂
ψ
∂
t
(
x
,
t
)
{\displaystyle \left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{j=1}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi (\mathbf {x} ,t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}(\mathbf {x} ,t)}
où m est la masse au repos de l’électron, c la vitesse de la lumière, p l’opérateur de quantité de mouvement,
ℏ
{displaystyle }
la constante de Planck réduite, x et t les coordonnées spatiales et temporelles, respectivement ; et ψ (x, t) une fonction d’onde à quatre composantes. La fonction d’onde doit être formulée comme un spinor (un objet mathématique similaire à un vecteur qui change de signe avec une rotation de 2π, découvert par Pauli et Dirac) à quatre composantes, et non comme un simple scalaire, en raison des exigences de la relativité restreinte. Les α sont des opérateurs linéaires régissant la fonction d’onde, écrits sous forme de matrice et sont des matrices 4×4 connues sous le nom de matrices de Dirac. Il existe plusieurs façons de choisir un ensemble de matrices de Dirac ; un critère pratique est le suivant :
α
0
=
[
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
–
1
0
0
0
0
–
1
]
α
1
=
[
0
0
0
1
0
0
1
0
0
–
1
0
0
–
1
0
0
0
]
{\displaystyle \alpha _{0}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}\quad \alpha _{1}={\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\-1&0&0&0\end{bmatrix}}}
α
2
=
[
0
0
0
–
i
0
0
i
0
0
i
0
0
–
i
0
0
0
]
α
3
=
[
0
0
1
0
0
0
0
–
1
–
1
0
0
0
0
1
0
0
]
{\displaystyle \alpha _{2}={\begin{bmatrix}0&0&0&-i\\0&0&i&0\\0&i&0&0\\-i&0&0&0\end{bmatrix}}\quad \alpha _{3}={\begin{bmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&-1\\-1&0&0&0\\0&1&0&0\end{bmatrix}}}
L’équation de Dirac décrit les amplitudes de probabilité pour un électron unique. Cette théorie de la particule unique donne une prédiction suffisamment bonne du spin et du moment magnétique de l’électron, et explique la majeure partie de la structure fine observée dans les lignes spectrales atomiques. Il fait également une prédiction particulière : il existe un ensemble infini d’états quantiques dans lesquels l’électron a une énergie négative. Ce résultat étrange permet à Dirac de prédire, au moyen des hypothèses contenues dans la théorie dite des trous, l’existence d’électrons chargés positivement. Cette prédiction a été vérifiée par la découverte du positron en 1932.
Malgré ce succès, la théorie fut écartée car elle impliquait la création et la destruction de particules, se heurtant ainsi à l’une des conséquences fondamentales de la relativité. Cette difficulté a été résolue en la reformulant comme une théorie quantique des champs. L’ajout d’un champ électromagnétique quantifié dans cette théorie conduit à la théorie moderne de l’électrodynamique quantique (QED).
Dérivation de l’équation de Dirac
L’équation de Dirac est une extension au cas relativiste de l’équation de Schrödinger, qui décrit l’évolution temporelle d’un système quantique :
H
^
|
ψ
(
t
)
⟩
=
i
ℏ
∂
∂
t
|
ψ
(
t
)
⟩
{\displaystyle \mathbf {\hat {H}} \left|\psi (t)\right\rangle =i\hbar {\partial \over \partial t}\left|\psi (t)\rangle }
Par commodité, nous travaillerons dans la base de position, où l’état du système est représenté par la fonction d’onde ψ(x,t). Dans cette base, l’équation de Schrödinger est formulée comme suit :
H
^
ψ
(
x
,
t
)
=
i
ℏ
∂
ψ
∂
t
(
x
,
t
)
{\displaystyle \mathbf {\hat {H}} \psi (\mathbf {x} ,t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}(\mathbf {x} ,t)}
où le hamiltonien H désigne un opérateur agissant sur une fonction d’onde et non sur des vecteurs d’état.
Le hamiltonien doit être spécifié de manière à décrire correctement l’énergie totale du système en question. Supposons qu’un électron libre soit isolé des champs de force externes. Dans un modèle non relativiste, un hamiltonien analogue à l’énergie cinétique de la mécanique classique (la quantité de mouvement ignorant le spin) est adopté :
H
^
=
∑
j
=
1
3
p
^
j
2
2
{{j=1}^{3}}{{frac}{mathbf}{H}} ={j=1}^{3}}{frac}{mathbf}{h}} ={j=1}^{3}{frac}{mathbf}{h}} _{j}^{2}}}{2m}}}}
où p sont les opérateurs d’impulsion dans chaque direction de l’espace j = 1, 2, 3. Chaque opérateur de quantité de mouvement agit sur la fonction d’onde comme une dérivée spatiale :
p
^
j
ψ
(
x
,
t
)
≡
–
i
ℏ
∂
ψ
∂
x
j
(
x
,
t
)
{« displaystyle » (« mathbf » (« hat » ) {{j}psi (\mathbf {x} ,t)\{equiv -i{hbar}},{frac {partial x_{j}}(\mathbf {x} ,t)}
Pour décrire un système relativiste, il faut trouver un hamiltonien différent. Les opérateurs de quantité de mouvement sont supposés conserver la définition ci-dessus. Selon la célèbre relation masse-momentum-énergie d’Albert Einstein, l’énergie totale d’un système est donnée par l’expression :
E
=
(
m
c
2
)
2
+
∑
j
=
1
3
(
p
j
c
)
2
{{displaystyle E={sqrt {(mc^{2})^{2}+{sum _{j=1}^{3}(p_{j}c)^{2}}}}}
d’où il découle que
(
m
c
2
)
2
+
∑
j
=
1
3
(
p
j
c
)
2
ψ
=
i
ℏ
∂
ψ
∂
t
{displaystyle {sqrt {(mc^{2})^{2}+sum _{j=1}^{3}(p_{j}c)^{2}}.
Cette équation n’est pas satisfaisante, car elle ne traite pas l’espace et le temps de manière égale, l’un des principes de base de la relativité restreinte (le carré de cette équation conduit à l’équation de Klein-Gordon). Dirac a fait le raisonnement suivant : si le côté droit de l’équation contient une dérivée du premier ordre par rapport au temps, le côté gauche doit également contenir une dérivée du premier ordre par rapport à l’espace (c.-à-d. les opérateurs de quantité de mouvement). Une possibilité pour obtenir cette situation est que la quantité de racine carrée soit un carré parfait. En considérant
(
m
c
2
)
2
+
∑
j
=
1
3
(
p
j
c
)
2
=
(
α
0
m
c
2
+
∑
j
=
1
3
α
j
p
j
c
)
2
{\displaystyle (mc^{2})^{2}+\sum _{j=1}^{3}(p_{j}c)^{2}=\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{j=1}^{3}\alpha _{j}p_{j}\cright)^{2}}
où les α sont des constantes à déterminer. En élevant au carré et en comparant les coefficients de chaque terme, nous obtenons les conditions suivantes pour α :
Ici, I est l’élément d’identité. Ces conditions peuvent être synthétisées comme suit :
où {…} est l’anticonmutateur, défini comme {A,B} ≡ AB+BA, et δ est le delta de Kronecker, qui vaut 1 si les deux indices sont égaux, et 0 sinon.
Ces conditions peuvent ne pas être satisfaites si les α sont des nombres ordinaires, mais elles le sont si les α sont certaines matrices. Les matrices doivent être hermétiques, puisque l’hamiltonien est un opérateur hermétique. Les plus petites matrices qui fonctionnent sont des matrices 4×4, mais il y a plus d’un choix possible, ou représentation, de matrices. Bien que le choix de la représentation n’affecte pas les propriétés de l’équation de Dirac, il influe sur la signification physique des différentes composantes de la fonction d’onde.
La représentation utilisée par Dirac a été présentée ci-dessus. Une façon plus compacte de décrire cette représentation est la suivante :
α
0
=
[
I
0
0
–
I
]
α
j
=
[
0
σ
j
–
σ
j
0
]
{ {displaystyle _{0}={begin{bmatrix}I&0&-Iend{bmatrix}}quad _{j}={begin{bmatrix}0&j}&0end{bmatrix}}
où 0 et I sont les matrices 2×2 zéro (nulle) et identité, respectivement ; et σj’s (j=1, 2, 3) sont les matrices de Pauli.
Il est maintenant facile d’opérer la racine carrée, ce qui permet d’obtenir l’équation de Dirac. Le hamiltonien de cette équation
est appelé hamiltonien de Dirac.
Puisque la fonction d’onde ψ est représentée par la matrice de Dirac 4×1, il doit s’agir d’un objet à 4 composantes. On verra dans la section suivante que la fonction d’onde contient deux ensembles de degrés de liberté, l’un associé à l’énergie positive et l’autre à l’énergie négative. Chaque ensemble contient deux degrés de liberté décrivant les amplitudes de probabilité du spin vers le haut ou vers le bas, selon une direction donnée.
La fonction d’onde peut être explicitement écrite sous la forme d’une matrice à colonnes :
L’équation d’onde double peut être écrite sous la forme d’une simple matrice :
où l’exposant indique une conjugaison complexe. La dualité d’une fonction d’onde scalaire (une composante) est un conjugué complexe.
Comme dans la mécanique quantique à une seule particule, le carré absolu de la fonction d’onde donne la densité de probabilité de la particule à chaque position x, temps t. Dans ce cas, le carré absolu est obtenu par multiplication matricielle :
La conservation des probabilités donne la condition de normalisation.
En appliquant l’équation de Dirac, nous pouvons examiner le flux de probabilité local :
Le flux de probabilité J est donné par
En multipliant J par la charge de l’électron e, on obtient la densité de courant électrique j portée par l’électron.
Les valeurs des composantes de la fonction d’onde dépendent du système de coordonnées. Dirac a montré comment ψ se transforme sous l’effet de changements généraux du système de coordonnées, y compris les rotations dans l’espace tridimensionnel, ainsi que les transformations de Lorentz entre cadres de référence relativistes. Il en résulte que ψ ne se transforme pas comme un vecteur, en raison des rotations ; il s’agit en fait d’un type d’objet connu sous le nom de « spinor ».
Il est intéressant de trouver les états propres de l’énergie du hamiltonien de Dirac. Pour ce faire, l’équation de Schrödinger indépendante du temps est résolue :
H
ψ
0
(
x
)
=
E
ψ
0
(
x
)
{ {displaystyle H {0}(\mathbf {x} )=E {0}(\mathbf {x} )}
où ψ est le fragment indépendant du temps de la fonction propre de l’énergie :
ψ
(
x
,
t
)
=
ψ
0
(
x
)
e
–
i
E
t
/
ℏ
{« displaystyle » (\mathbf {x} ,t)=\psi _{0}(\mathbf {x} )e^{ -iEt/\hbar }}
Nous recherchons une solution d’onde plane. Par commodité, nous prenons le z de l’axe comme étant la direction dans laquelle la particule se déplace, comme par exemple
ψ
0
=
w
e
i
p
z
ℏ
{{displaystyle \psi _{0}=we^{frac {ipz}{hbar }}}}
où w est un spinor constant à quatre composantes, et p est la quantité de mouvement de la particule, comme nous pouvons le vérifier en appliquant l’opérateur de quantité de mouvement à la fonction d’onde. Dans la représentation de Dirac, l’équation pour ψ0 diminue dans l’équation des valeurs propres.
[
m
c
2
0
p
c
0
0
m
c
2
0
–
p
c
p
c
0
–
m
c
2
0
0
–
p
c
0
–
m
c
2
]
=
E
w
{\displaystyle {\begin{bmatrix}mc^{2}&0&pc&0\\0&mc^{2}&0&-pc\\pc&0&-mc^{2}&0\\0&-pc&0&-mc^{2}\end{bmatrix}}w=Ew}
Pour chaque valeur de p, il existe deux espaces propres, tous deux bidimensionnels. L’un des espaces propres contient des valeurs propres positives, et l’autre des valeurs propres négatives, de la forme :
E
±
(
p
)
=
±
(
m
c
2
)
2
+
(
p
c
)
2
{{sqrt {(mc^{2})^{2}+(pc)^{2}}}}}
L’espace propre positif est structuré par les états propres :
1
ϵ
2
+
(
p
c
)
2
{
[
p
c
0
ϵ
0
]
,
[
0
p
c
0
–
ϵ
]
}
{« displaystyle » {1}{1}{1}{2}+(pc)^{2}}}}left
et l’espace propre négatif par les états propres :
1
ϵ
2
+
(
p
c
)
2
{
[
–
ϵ
0
p
c
0
]
,
[
0
ϵ
0
p
c
]
}
{« displaystyle » {1}{1}{1}{2}+(pc)^{2}}}}left
Où
Le premier état propre de la structure de chaque espace propre a un spin qui pointe dans la direction +z (spin up) et le deuxième état propre a un spin qui pointe dans la direction -z (spin down).
Dans la limite non relativiste, le spinor ε réduit l’énergie cinétique de la particule, qui est négligeable par rapport à pc :
ϵ
∼
p
2
2
m
≪
p
c
{ « displaystyle » « sim » « frac » « p^{2} » « pc » « pc » « pc » « pc » « pc » « pc » « pc » « pc » « pc » « pc » « pc » « pc » « pc » « pc » « pc » « pc ».
Dans cette limite, nous pouvons donc interpréter les quatre composantes de la fonction d’onde comme étant les amplitudes respectives du (I) spin up avec énergie positive, et du (II) spin down avec énergie positive, (III) spin up avec énergie négative, et (IV) spin down avec énergie négative. Cette description n’est pas très précise dans le régime de la relativité, où les composantes non nulles du spinor sont de taille similaire.
Théorie des lacunes
Les solutions négatives de E dans la section précédente sont problématiques : du point de vue de la mécanique relativiste, l’énergie d’une particule au repos (p = 0) serait E = mc2 autant que E = – mc2. Mathématiquement, il ne semble pas y avoir de raison de rejeter les solutions correspondant à une énergie négative.
Pour résoudre ce problème, Dirac a introduit une hypothèse (connue sous le nom de théorie des trous) selon laquelle le vide est l’état le plus important des quanta, dans lequel tous les états propres d’énergie négative de l’électron sont occupés. Cette description du vide comme une « mer » d’électrons est appelée la mer de Dirac. Le principe d’exclusion de Pauli interdit aux électrons d’occuper le même état, tout électron supplémentaire serait forcé d’occuper un état propre d’énergie positive, et les électrons d’énergie positive ne pourraient pas se désintégrer en états propres d’énergie négative.
Dirac a ensuite raisonné en disant que si les états propres d’énergie négative sont incomplètement remplis, chaque état propre inoccupé – appelé trou – pourrait se comporter comme une particule chargée positivement. Le trou a une énergie positive, puisqu’il faut de l’énergie pour créer une paire particule-trou à partir du vide. Dirac pensait à l’origine que le trou était un proton, mais Hermann Weyl a averti que le trou se comporterait comme s’il avait la même masse que l’électron, alors que le proton est environ deux mille fois plus massif. Le trou a finalement été identifié comme étant le positron, une particule découverte expérimentalement par Carl David Anderson en 1932.
Par nécessité, la théorie des trous suppose que les électrons d’énergie négative de la mer de Dirac n’interagissent pas entre eux, ni avec les électrons d’énergie positive. Dans cette hypothèse, la mer de Dirac produirait une charge électrique négative immense (voire infinie), dont la majeure partie serait, d’une manière ou d’une autre, annulée par une mer de charge positive, car le vide reste électriquement neutre. Cependant, il est tout à fait insatisfaisant de postuler que les électrons d’énergie positive peuvent être affectés par le champ électromagnétique, alors que les électrons d’énergie négative ne le sont pas. C’est pourquoi les physiciens ont abandonné la théorie des trous au profit de la théorie du champ de Dirac, qui laisse de côté le problème des états d’énergie négative en traitant les positrons comme de véritables particules (attention : dans certaines applications de la physique de la matière condensée, les concepts fondés sur la « théorie des trous » sont valables). La mer d’électrons de conduction d’un conducteur électrique, appelée mer de Fermi, contient des électrons dont l’énergie est supérieure au potentiel chimique du système. Un état vide dans la mer de Fermi se comporte comme un électron chargé positivement, bien que l’on parle à la fois de « trou » et de positron. La charge négative de la mer de Fermi est compensée par la charge positive du réseau ionique du matériau.
Dans l’approche moderne, l’interprétation de la mer d’électrons renvoie au problème du choix de l’état du vide. En fait, dans certaines théories, différents choix de l’état du vide peuvent avoir des conséquences physiques différentes.
Interaction électromagnétique
Jusqu’à présent, nous avons considéré un électron qui n’est pas en contact avec des champs externes. Par analogie avec le hamiltonien d’une particule chargée en électrodynamique quantique, le hamiltonien de Dirac peut être modifié pour inclure les effets d’un champ électromagnétique. Le hamiltonien révisé est (en unités SI) :
H
=
α
0
m
c
2
+
∑
j
=
1
3
α
j
[
p
j
–
e
A
j
(
x
,
t
)
]
c
+
e
ϕ
(
x
,
t
)
{displaystyle H=alpha _{0}mc^{2}+sum _{j=1}^{3}alpha _{j}leftc+e\phi (\mathbf {x} ,t)}
où e est la charge électrique de l’électron et A et Φ sont les potentiels électromagnétiques vectoriel et scalaire, respectivement. Ici, les potentiels sont écrits comme des fonctions du temps t et de l’opérateur de position x. Il s’agit d’une approximation semi-classique qui est valable lorsque les fluctuations quantiques du champ (par exemple, l’émission et l’absorption de photons) ne sont pas importantes.
En donnant à Φ la valeur 0 et en travaillant dans la limite non relativiste, Dirac a résolu les deux premières composantes des fonctions d’onde d’énergie positive (qui sont les composantes dominantes dans la limite non relativiste), en obtenant
(
1
2
m
∑
j
|
p
j
–
e
A
j
(
x
,
)
|
2
–
ℏ
e
2
m
c
∑
j
σ
j
B
j
(
x
)
)
[
ψ
1
ψ
2
]
{\displaystyle \left({\frac {1}{2m}}\sum _{j}|p_{j}-eA_{j}(\mathbf {x} ,t)|^{2}-{\frac {\hbar e}{2mc}}\sum _{j}\sigma _{j}B_{j}(\mathbf {x} )\right){\begin{bmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\end{batrix}}}
=
(
E
–
m
c
2
)
[
ψ
1
ψ
2
]
{ { « displaystyle =(E-mc^{2}){ « bgin{bmatrix} » _{1} « {2}end{bmatrix}}
où
B
=
∇
×
A
{« displaystyle » {B} = « times » {A} }
est le champ magnétique agissant sur la particule. C’est précisément l’équation de Pauli pour une particule de spin non relativiste ½, avec un moment magnétique
ℏ
e
/
2
m
c
{displaystyle \hbar e/2mc}
(par exemple : un facteur g de spin égal à 2). Le moment magnétique réel de l’électron est plus grand que cela, mais seulement de 0,12 %. La différence est due aux fluctuations quantiques du champ électromagnétique, qui peuvent être sous-estimées.
Des années après la découverte de l’équation de Dirac, la plupart des physiciens pensaient qu’elle décrivait également le proton et le neutron, qui sont également des particules de spin -1/2. Cependant, depuis les expériences de Stern et Frisch en 1933, on a découvert que le moment magnétique de ces particules était remarquablement différent des prédictions de l’équation de Dirac. Le proton a un moment magnétique 2,79 fois plus grand que la prédiction (la masse du proton étant donnée comme m dans les formules ci-dessus), soit un facteur g de 5,58. Le neutron, qui est électriquement neutre, a un facteur g de -3,83. Ces moments magnétiques anormaux ont été la première indication expérimentale que le proton et le neutron ne sont pas des particules élémentaires. Ils sont en effet composés de particules plus petites appelées quarks.
Il est intéressant de noter que le hamiltonien peut être écrit comme une somme de deux termes :
H
=
H
e
l
+
H
i
n
t
{\displaystyle H=H_{el}+H_{int}\,}
Où Hel est l’hamiltonien de Dirac pour un électron libre et Hint est l’hamiltonien de l’interaction électromagnétique. Ce dernier peut être écrit comme suit
H
i
n
t
=
e
ϕ
(
x
,
t
)
–
e
c
∑
j
=
1
3
α
j
A
j
(
x
,
t
)
{ {displaystyle H_{int}=e\phi (\mathbf {x} ,t)-ecsum _{j=1}^{3}alpha _{j}A_{j}(\mathbf {x} ,t)}
La valeur attendue est la suivante
⟨
H
⟩
=
∫
R
3
ψ
†
H
i
n
t
ψ
d
3
x
=
∫
R
3
(
ρ
ϕ
–
∑
i
=
1
3
j
i
A
i
)
d
3
x
{\displaystyle \langle H\rangle =\int _{\mathbb {R} ^{3}}\psi ^{\dagger }H_{int}\psi \ d^{3}x=\int _{\mathbb {R} ^{3}}\left(\rho \phi -\sum _{i=1}^{3}j_{i}A_{i}\right)\ d^{3}x}
où ρ est la densité de charge électrique et j la densité de courant électrique. L’intégrale du dernier terme est la densité d’énergie d’interaction. Il s’agit d’une quantité scalaire covariante relativiste, comme on peut le voir en l’écrivant en termes du quadrivecteur charge-courant j = (ρc, j) et du quadrivecteur du potentiel A = (φ/c, A) :
⟨
H
⟩
=
∫
(
∑
ν
=
0
3
j
ν
A
ν
)
d
3
r
{« displaystyle » signifie « angle » ou « angle » = « at », « at » = « at », « at » = « at », « at » = « at », « at » = « at », « at » = « at », « at » = « at », « at » = « at », « at » = « at », « at » = « at », « at » = « at ».
L’équation de Schrödinger appliquée aux électrons n’est qu’une approximation non relativiste de l’équation de Dirac qui tient compte de l’effet de spin des électrons. Dans le traitement de Dirac des électrons, la fonction d’onde doit en effet être remplacée par un spinor à quatre composantes.
ψ
n
,
j
m
(
±
)
(
r
,
θ
,
ϕ
)
=
{
i
G
n
,
l
j
(
r
)
r
φ
j
m
(
±
)
F
n
,
l
j
(
r
)
r
(
σ
⋅
r
^
)
φ
j
m
(
±
)
}
{ « displaystyle » : { « Bmatrix » = « Bmatrix » : « G_{n,jm}^{(r,\theta ,\phi )= »{ « Bmatrix » : « G_{n,lj}(r)} » « r », lj}(r)}{r}}({foldsymbol {figma}}){foldsymbol {varphi}}{jm}^{(\pm )}{Bmatrix}}}
Les fonctions F et G sont exprimées en termes de fonctions hypergéométriques :
F
n
,
l
j
(
r
)
=
(
1
+
E
m
c
2
)
e
–
ρ
2
(
F
1
(
ρ
)
+
F
2
(
ρ
)
)
,
G
n
,
l
j
(
r
)
=
(
1
–
E
m
c
2
)
e
–
ρ
2
(
F
1
(
ρ
)
–
F
2
(
ρ
)
)
,
{displaystyle F_{n,lj}(r)=left(1+{frac {E}{mc^{2}}}}right)e^{ -{frac {rho }{2}}(F_{1}(rho )+F_{2}(rho )), \qquad G_{n,lj}(r)=left(1-{frac {E}{mc^{2}}}right)e^{ -{frac {{rho }{2}}(F_{1}(\rho )-F_{2}(\rho ) )),}
A titre de comparaison avec le cas non relativiste, la forme explicite du spinor des fonctions d’onde de l’état fondamental est donnée ci-dessous :
ψ
n
=
1
,
j
=
1
2
,
m
=
+
1
2
(
r
,
θ
,
ϕ
)
=
(
2
m
Z
α
)
3
/
2
(
4
π
)
1
/
2
(
1
+
γ
2
Γ
(
1
+
2
γ
)
)
1
/
2
(
2
m
Z
α
r
)
γ
–
1
e
–
m
Z
α
r
{
1
0
i
(
1
–
γ
)
Z
α
cos
θ
i
(
1
–
γ
)
Z
α
sans
θ
e
i
φ
}
{{n=1,j={frac {1}{2}}},m=+{frac {1}{2}}}(r,\theta , \{(2mZZalpha )^{3/2}}{(4)^{1/2}}}{{1/2}}}{{1}{1/2}}(2mZalpha r)^{2}{2}{2}{2}Gamma (1+2}{2}gamma )^{1/2}(2mZalpha r)^{1}{1}{2}{2}{2}{2}{2}{2}{2}{2}{2}{2}{2}{2}{2}{2}}gamma (1+2}{2}{2}{2}}}). mZalpha r}{{Bmatrix}1}{1}{1/2}(2mZalpha r)^{1/2}(2mZalpha r)^{1/2}(2mZalpha r)^{1/2}(2mZalpha r)^{1}e^{1/2}(2mZalpha -1}e^{1/2}(2mZalpha r)^{1/2}(2mZalpha r)^{1/2}(2mZalpha r)^{1/2}(2mZalpha r)^{1/2}(2mZalpha r)^{1/2}(2mZalpha r)^{1/2}(2mZalpha r).
La limite non relativiste est obtenue en tendant vers
γ
:=
1
–
Z
2
α
2
→
1
{{displaystyle \gamma :={sqrt {1-Z^{2}alpha ^{2}}}à 1}}
c’est-à-dire en faisant tendre la constante de structure fine vers zéro.
Le traitement des électrons par l’équation de Dirac n’implique que de faibles corrections des niveaux donnés par l’équation de Schrödinger. L’effet le plus intéressant est peut-être la disparition de la dégénérescence des niveaux, due à l’effet de l’interaction spin-orbite dans laquelle les électrons ayant des valeurs différentes du troisième nombre quantique m (nombre quantique magnétique) ont des énergies différentes en raison de l’effet sur eux du moment magnétique du noyau atomique. En fait, les niveaux d’énergie sont donnés par.
E
n
=
m
e
c
2
1
+
(
Z
α
n
–
|
m
|
+
m
2
+
(
Z
α
)
2
)
2
{{displaystyle E_{n}=m_{e}c^{2}{sqrt {1+left({frac {Zalpha }{n-|m|+{sqrt {m^{2}+(Z\alpha )^{2}}}}}}right)^{2}}}}
Où :
Si l’on ne tient pas compte de l’énergie associée à la masse au repos de l’électron, ces niveaux peuvent s’avérer proches de ceux prédits par l’équation de Schrödinger, en particulier dans le cas où m = 0 :
E
n
–
m
e
c
2
≈
m
e
2
(
Z
α
n
–
|
|
+
m
2
+
(
Z
α
)
2
)
2
{\displaystyle E_{n}-m_{e}c^{2}\approx {\frac {m_{e}}{2}}\gauche({\frac {Z\alpha }{n-|m|+{\sqrt {m^{2}+(Z\alpha )^{2}}}}}\right)^{2}}
Notation covariante relativiste
Nous revenons à l’équation de Dirac pour l’électron libre. Il est parfois commode d’écrire l’équation sous une forme covariante relativiste, où les dérivées dans le temps et l’espace sont traitées au même niveau. Pour ce faire, il convient de noter que l’opérateur de quantité de mouvement p fonctionne comme une dérivée spatiale :
p
ψ
(
x
,
t
)
=
–
i
ℏ
∇
ψ
(
x
,
t
)
{ \displaystyle \mathbf {p} \psi (\mathbf {x} ,t)=-i’sbar \psi (\mathbf {x} ,t)}
En multipliant chaque membre de l’équation de Dirac par
α
0
{« displaystyle » {« alpha » {0}}
(en se rappelant que
α
0
2
=
I
{\displaystyle \alpha _{0}^{2}=I}
) et en substituant la définition de p mentionnée plus haut, on obtient
[
i
ℏ
c
(
α
0
∂
c
∂
t
+
∑
j
=
1
3
α
0
α
j
∂
∂
x
j
)
–
m
c
2
]
ψ
=
0
{« displaystyle » = 0}
Quatre matrices gamma sont maintenant définies :
γ
0
=
α
0
,
γ
j
=
α
0
α
j
{« displaystyle » = « gamma » = « alpha », « quad » = « gamma ».
Ces matrices ont la propriété suivante
{
γ
μ
,
γ
ν
}
=
2
η
μ
ν
⋅
I
,
μ
,
ν
=
0
,
1
,
2
,
3
{ « displaystyle » = 0, 1, 2, 3
où η, à nouveau, est la métrique de l’espace-temps plat. Ces relations définissent une algèbre de Clifford appelée « algèbre de Dirac ». L’équation de Dirac peut maintenant être reformulée, en utilisant le quadrivecteur position-temps
x
=
(
c
t
,
x
)
{ « displaystyle x=(ct,\mathbf {x} )}
comme
(
i
ℏ
c
∑
μ
=
0
3
γ
μ
∂
∂
x
μ
–
m
c
2
)
ψ
=
0
{\displaystyle \left(i\hbar c\N;\sum _{\mu =0}^{3}\N;\gamma ^{\mu }\N;{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}-mc^{2}\right)\psi =0}
O como
(
i
⧸
∂
–
m
)
ψ
≡
(
i
γ
μ
∂
μ
–
m
)
ψ
=
0
{ « displaystyle » (i « partiel -m ») « psi » (i « gamma » « partiel » « m ») = 0