Équation modulaire

En mathématiques, une équation modulaire est une égalité algébrique satisfaite par des modules. Il s’agit généralement d’expressions dont la vérification est un problème dont la preuve doit se conformer aux règles d’un espace modulaire donné. En d’autres termes, étant donné un ensemble de fonctions dans un espace modulaire, une équation modulaire est une relation qui est vérifiée entre elles, ou en d’autres termes, c’est une identité qui est vérifiée pour un ensemble d’opérateurs modulaires.

L’utilisation la plus fréquente du terme « équation modulaire » est liée aux problèmes de courbes elliptiques correspondants. Dans ce cas, l’espace de moduli lui-même est de dimension un, ce qui implique qu’étant donné n’importe quelle paire de fonctions rationnelles F et G dans le champ fonctionnel de la courbe modulaire, elles satisferont une équation modulaire P(F,G) = 0, où P est un polynôme non nul de deux variables sur les nombres complexes. Pour un choix approprié non dégénéré de F et G, l’équation P(X,Y) = 0 définira effectivement la courbe modulaire.

Ceci peut être qualifié en disant que P, dans le pire des cas, sera de degré élevé et que la courbe plate qu’il définit aura des points singuliers ; et les coefficients de P peuvent être de très grands nombres. De plus, les « cusps » du problème de moduli, qui sont les points de la courbe modulaire qui ne correspondent pas aux courbes elliptiques normales mais aux cas dégénérés, peuvent être difficiles à interpréter sans connaître P.
En ce sens, une équation modulaire devient l’équation d’une courbe modulaire. De telles équations sont apparues pour la première fois dans la théorie de la multiplication des fonctions elliptiques (géométriquement, la variété n2 de couverture d’un 2-tore sur lui-même, donnée par l’application x → n-x dans le groupe sous-jacent) exprimée en termes d’analyse complexe.

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