En topologie, un espace T1 ou espace de Fréchet est un cas particulier d’espace topologique.
Définition
Un espace topologique
E
{displaystyle E}
est
T
1
{{displaystyle T_{1}}}
si pour chaque paire d’éléments distincts
x
{style x}
,
y
{\displaystyle y}
de
E
{displaystyle E}
il existe un ouvert contenant
x
{affichage style x}
et non
y
{displaystyle y}
. Ceci implique clairement qu’il existe aussi un ouvert qui contient un
y
{\displaystyle y}
et non
x
{\displaystyle x}
comme c’est aussi le cas pour le couple
y
{displaystyle et}
,
x
{displaystyle x}
. Par conséquent, il est aussi généralement défini comme un espace topologique tel que pour chaque paire d’éléments distincts
x
{displaystyle x}
e
y
{\displaystyle y}
de
{displaystyle E}
il existe un ouvert contenant
x
{affichage style x}
et non
y
{\displaystyle y}
et il existe aussi un ouvert contenant
y
{\displaystyle y}
et non
x
{\displaystyle x}
Notez qu’il n’est pas nécessaire que ces deux ouvertures soient disjointes (si c’était le cas pour chaque
x
{displaystyle x}
e
y
{\displaystyle y}
serait un espace de Hausdorff ou
T
2
{displaystyle T_{2}}
).
Propriétés
Être
X
{displaystyle X}
un espace topologique. Ils sont équivalents :
La propriété d’être T1 est héréditaire, c’est-à-dire que les sous-espaces d’un T1 sont également T1.
Note et cas
Un espace topologique est T1 si et seulement si chaque point est un ensemble fermé.