Les espaces
L
p
{\displaystyle L^{p}}
sont les espaces vectoriels normés les plus importants dans le contexte de la théorie de la mesure et de l’intégrale de Lebesgue. Ils sont également appelés espaces de Lebesgue, d’après le mathématicien Henri Lebesgue.
Définition
Espace de Banach
L
μ
p
(
X
)
{ {displaystyle L_{mu }^{p}(X)}
est construit à partir de l’espace vectoriel
L
μ
p
(
X
)
{« displaystyle {mathcal {L}}_{mu }^{p}(X)}
ce second espace est un espace vectoriel mais ce n’est pas un espace de Banach. Si sur ce second espace on définit une certaine relation d’équivalence telle que les classes d’équivalence (formées par des fonctions égales presque partout) constituent un espace vectoriel normé qui est un espace de Banach.
Considérons
(
X
,
Σ
,
μ
)
{ displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}
un espace de mesure. L’espace vectoriel est défini :
pour
p
∈
[
1
,
∞
)
{ {displaystyle p\in [1,\infty )}
comme l’espace de toutes les fonctions mesurables
f
{displaystyle f\in [1,\infty )} comme l’espace de toutes les fonctions mesurables f
qui satisfont
Il définit également l’espace
L
∞
{displaystyle {mathcal {L}}^{infty}}
comme l’espace des fonctions mesurables
f
{\displaystyle f\,}
qui vérifient :
c’est-à-dire les fonctions mesurables bornées sauf sur un ensemble de mesure nulle.
Une norme naturelle à définir dans ces espaces serait :
Cependant, une application ainsi définie n’est pas standard, car elle ne répond pas aux critères suivants
‖
f
‖
p
=
0
⇒
f
=
0
{ {displaystyle \|f}=0{p}=0{Flèche droite f=0}
puisque toute fonction égale à la fonction nulle, sauf dans un ensemble de mesure nulle, aura une norme nulle.
La relation d’équivalence suivante est donc définie
R
{displaystyle R}
sur
L
p
{« displaystyle » {« mathcal {L}^{p}}}
:
On prouve qu’il s’agit bien d’une relation d’équivalence, et on définit
c’est-à-dire l’espace vectoriel dont les éléments sont les classes d’équivalence de la relation
R
{displaystyle R}
. En considérant alors sur
L
p
{displaystyle L^{p}}
les règles définies ci-dessus (où
f
{style f}
est un représentant quelconque de la classe d’équivalence), on prouve que
‖
⋅
‖
p
{« displaystyle ».
La fonction s’avère être une norme et sa valeur ne dépend pas du représentant de la classe d’équivalence choisi. En général, aucune distinction n’est faite entre la fonction et la classe d’équivalence dans ce contexte.