Dans la théorie de la relativité et la théorie classique des champs, les conditions d’énergie font référence à un ensemble de contraintes sur le contenu matériel de la théorie. Dans de nombreux problèmes, il s’agit de démontrer un lien nécessaire entre une certaine contrainte sur le type de matière présente dans l’espace-temps et les propriétés géométriques de certaines entités associées.
En relativité générale, les conditions d’énergie sont souvent utilisées comme conditions dans l’énoncé de divers théorèmes sur les trous noirs, tels que le « théorème du trou noir » ou la thermodynamique des trous noirs.
Motivation
En relativité générale et dans d’autres théories similaires, la distribution de la masse, de la quantité de mouvement et de l’énergie due à la matière ordinaire et aux champs de matière autres que la matière gravitationnelle est donnée par le tenseur énergie-impulsion (ou « tenseur matière »)
T
a
b
{\displaystyle T^{ab}}
. Cependant, l’équation du champ d’Einstein permet de prendre en compte une grande variété de types de matière sans trop de restrictions. C’est à la fois une force et une faiblesse : il est vrai qu’une théorie très générale de la gravitation ne doit pas trop dépendre d’hypothèses sans rapport avec les aspects non gravitationnels de la physique, mais en même temps, sans trop restreindre le type de matière, l’équation du champ d’Einstein admet des solutions mathématiques possibles qui ne semblent pas physiquement réalisables, c’est-à-dire qu’elles sont trop étranges pour constituer des modèles raisonnables de l’univers.
Les conditions énergétiques sont une contrainte supplémentaire, dont l’intérêt est de conduire à des modèles raisonnables de l’univers. Fondamentalement, ces conditions restreignent les équations constitutives possibles de la matière ou des champs non gravitationnels à des critères physiques bien établis, dans l’espoir d’exclure un grand nombre de solutions physiquement irréalisables.
En termes mathématiques, la caractéristique la plus notable des conditions d’énergie est qu’elles limitent les valeurs propres et les vecteurs propres du tenseur énergie-impulsion. Comme cette condition est imposée pour chaque événement spatio-temporel indépendamment, c’est-à-dire qu’il s’agit d’une condition mathématique sur l’espace tangent du collecteur lorentzien modélisant l’espace-temps, ces conditions ne contraignent que localement certaines caractéristiques non physiques, mais elles ne peuvent en aucun cas exclure complètement des caractéristiques globales pathologiques, telles que l’existence de courbes temporelles fermées.
Quelques quantités observables
Pour comprendre la signification de plusieurs des conditions d’énergie, il est important de se familiariser avec l’interprétation physique de certaines quantités scalaires et vectorielles construites à partir des vecteurs d’espace ou de lumière et du tenseur énergie-impulsion lui-même.
Tout d’abord, un champ de vecteurs de type temporel
X
→
{\displaystyle {\vec {X}}}
peut être interprété comme une famille d’observateurs (éventuellement non inertiels). Alors le champ scalaire
ρ
=
T
a
b
X
a
X
b
{« rho =T_{ab},X^{a},X^{b}}
peut être interprétée comme la densité totale de masse et d’énergie mesurée par un observateur de la famille décrite (dans chaque événement de sa ligne d’univers). De la même manière, le champ vectoriel dont les composantes sont
–
T
a
b
X
b
{\displaystyle -{T^{a}}_{b}\,X^{b}}
représente (après projection) la quantité de mouvement mesurée par les observateurs de la famille.
Deuxièmement, étant donné un champ de vecteurs de lumière de type
k
→
{\displaystyle {\vec {k}}}
le champ scalaire
ν
=
T
a
b
k
a
k
b
{displaystyle =T_{ab},k^{a},k^{b}}
peut être considérée comme une sorte de cas limite de la densité de masse et d’énergie.
Troisièmement, dans le cas de la relativité générale, étant donné un champ de vecteurs de type temporel arbitraire
X
→
{\displaystyle {\vec {X}}}
qui peut être interprété comme le mouvement d’une famille d’observateurs, le scalaire de Raychaudhuri est le champ scalaire obtenu en prenant la trace du tenseur de marée correspondant aux observateurs de chaque événement :
E
[
X
→
]
m
m
=
R
a
b
X
a
X
b
{\displaystyle {E^{m}}_{m}=R_{ab}\,X^{a}\,X^{b}}
Cette quantité joue un rôle crucial dans l’équation de Raychaudhuri. Ensuite, à partir de l’équation du champ d’Einstein, il s’ensuit directement que :
1
8
π
E
[
X
→
]
m
m
=
1
8
π
R
a
b
X
a
X
b
=
(
T
a
b
–
1
2
T
g
a
b
)
X
a
X
b
,
{{E^{m}}_{m}={E^{m}}={E^{m}}={E^{m}}={E^{m}},X^{a},X^{b}={left(T_{ab}-{E^{2}}},T,g_{ab}},X^{a}},X^{b}},}
où
T
=
T
m
m
{\displaystyle T={T^{m}}_{m}}}
est la trace du tenseur énergie-impulsion.
Formulation mathématique
Il existe plusieurs conditions d’énergie proposées, couramment utilisées à des fins différentes :
Chacune des conditions a une version « moyennée », dans laquelle les propriétés ci-dessus doivent être satisfaites uniquement en « moyenne » le long des lignes intégrales de certains champs vectoriels. Dans le cas contraire, l’effet Casimir entraînerait des exceptions.
La « condition d’énergie nulle » stipule que pour chaque vecteur lumineux dirigé vers l’avant
k
→
{\displaystyle {\vec {k}}}
il est satisfait que :
ρ
=
T
a
b
k
a
k
b
≥
0.
{rho =T_{ab},k^{a},k^{b}geq 0.}
Quant à la version moyennée correspondante (condition d’énergie nulle moyennée), elle stipule que pour chaque ligne intégrale
C
{\displaystyle C}
le champ de vecteurs lumineux
k
→
{\displaystyle {\vec {k}}}
il doit être satisfait que
∫
C
T
a
b
k
a
k
b
d
λ
≥
0.
{displaystyle \int _{C}T_{ab},k^{a},k^{b},d^{lambda},\geq 0.
La « condition d’énergie faible » stipule que pour tout vecteur temporel
X
→
{\displaystyle {\vec {X}}}
la densité de matière observée par les observateurs décrits ci-dessus doit être non négative :
ρ
=
T
a
b
X
a
X
b
≥
0.
{rho =T_{ab},X^{a},X^{b}geq 0.}
La « condition d’énergie dominante » stipule que, en plus de la condition d’énergie faible satisfaite pour chaque champ de vecteurs de type causal dirigé vers l’avant
Y
→
{\displaystyle {\vec {Y}}}
le champ vectoriel
–
T
a
b
Y
b
{\displaystyle -{T^{a}}_{b}\,Y^{b}}
doit être un vecteur causal pointant vers le futur. En d’autres termes, la masse-énergie ne peut être observée se déplaçant à une vitesse supérieure à celle de la lumière.
La « condition d’énergie forte » stipule que pour tout vecteur temporel pointant vers le futur
X
→
{\displaystyle {\vec {X}}}
la trace du tenseur de marée mesurée par les observateurs décrits ci-dessus est toujours positive ou nulle :
(
T
a
b
–
1
2
T
g
a
b
)
X
a
X
b
≥
0
{displaystyle \left(T_{ab}-{frac {1}{2},T,g_{ab}right)\,X^{a},X^{b}geq 0}
Il existe des configurations matérielles qui peuvent violer cette condition, du moins d’un point de vue mathématique. Il n’est pas certain que ces violations soient également possibles physiquement dans le régime classique. Par exemple, un champ scalaire avec un potentiel positif peut violer cette condition. De plus, cette condition est violée dans un processus cosmologique inflationniste.