En mathématiques, la factorisation est une technique qui consiste à décomposer une expression algébrique (qui peut être un nombre, une addition ou une soustraction, une matrice, un polynôme, etc. Il existe différentes méthodes de factorisation, en fonction des objets mathématiques étudiés ; le but est de simplifier une expression ou de la réécrire en termes de « blocs fondamentaux », appelés facteurs, comme un nombre en nombres premiers, ou un polynôme en polynômes irréductibles.
Le contraire de la factorisation des polynômes est l’expansion, la multiplication des facteurs polynomiaux ensemble pour obtenir un polynôme « étendu », écrit comme une simple somme de termes.
Le théorème fondamental de l’arithmétique couvre la factorisation des entiers et, pour la factorisation des polynômes, le théorème fondamental de l’algèbre. La factorisation de très grands nombres entiers en produits de facteurs premiers nécessite des algorithmes sophistiqués. Le niveau de complexité de ces algorithmes est à la base de la fiabilité de certains systèmes cryptographiques asymétriques tels que RSA.
Entiers
En vertu du théorème fondamental de l’arithmétique, tout nombre entier positif a une décomposition unique en nombres premiers (facteurs premiers), c’est-à-dire qu’il peut être représenté de manière unique sous la forme d’un produit de facteurs premiers.
Polynômes
Les techniques modernes de factorisation des polynômes sont rapides et efficaces, mais font appel à des idées mathématiques sophistiquées (voir factorisation des polynômes). L’utilisation d’équations quadratiques pour modéliser des situations et les résoudre à l’aide de la factorisation. La factorisation est une technique qui implique la décomposition d’une expression mathématique sous forme de produit.
Si la notion générale de factorisation consiste simplement à écrire une expression comme un produit d’expressions plus simples, le terme vague de « simple » sera défini plus précisément pour des classes spéciales d’expressions. Lorsqu’il y a factorisation de polynômes, cela signifie que les facteurs doivent être des polynômes de degré inférieur. Ainsi, si
x
2
–
y
=
(
x
+
y
)
(
x
–
y
)
{ « displaystyle x^{2}-y=(x+{sqrt {y}})(x-{sqrt {y}})}
est une factorisation de l’expression, mais ce n’est pas une factorisation polynomiale puisque les facteurs ne sont pas des polynômes. De plus, la factorisation d’un terme constant, comme dans
3
x
2
–
6
x
+
12
=
3
(
x
2
–
2
x
+
4
)
{\displaystyle 3x^{2}-6x+12=3(x^{2}-2x+4)}
ne serait pas considérée comme une factorisation polynomiale puisque l’un des facteurs n’a pas un degré inférieur à celui de l’expression originale. Une autre question concerne les coefficients des facteurs. Dans les traitements de base, il est souhaitable que les coefficients des facteurs soient du même type que les coefficients du polynôme original, c’est-à-dire factoriser les polynômes à coefficients entiers en facteurs à coefficients entiers, ou factoriser les polynômes à coefficients réels en polynômes à coefficients réels. Il n’est pas toujours possible de le faire, et un polynôme qui ne peut pas être factorisé de cette manière est dit irréductible sur ce type de coefficient. Ainsi, x² -2 est irréductible sur les entiers et x² + 4 est irréductible sur les réels. Dans le premier exemple, les entiers 1 et -2 peuvent également être considérés comme des nombres réels, et si c’est le cas, alors
x
2
–
2
=
(
x
+
2
)
(
x
–
2
)
{ {displaystyle x^{2}-2=(x+{sqrt {2}})(x-{sqrt {2}})}
montre que ce polynôme est un facteur sur les réels (on dit parfois qu’il s’agit de divisions de polynômes sur les réels). De même, puisque les entiers 1 et 4 peuvent être considérés comme des nombres complexes et que x² + 4 a des divisions sur les nombres complexes, c’est-à-dire que
x
2
+
4
=
(
x
+
2
i
)
(
x
–
2
i
)
{\displaystyle x^{2}+4=(x+2i)(x-2i)}
Le théorème fondamental de l’algèbre peut être énoncé comme suit : tout polynôme de degré n à coefficients complexes se divise complètement en facteurs linéaires n. Les termes de ces facteurs, qui sont les racines du polynôme, peuvent être réels ou complexes. Comme les racines complexes des polynômes à coefficients réels se présentent par paires complexes conjuguées, ce résultat implique que tout polynôme à coefficients réels se divise en facteurs quadratiques linéaires et/ou irréductibles à coefficients réels (car lorsque deux facteurs linéaires à termes complexes conjugués sont multipliés ensemble, le résultat est une quadratique à coefficients réels). Bien que la structure de la factorisation soit connue dans ces cas, la recherche des facteurs réels peut s’avérer difficile sur le plan informatique et, en vertu du théorème de Ruffini, les coefficients et les termes additifs des facteurs peuvent ne pas être exprimés en termes de radicaux.
Un polynôme de degré n peut être factorisé en un produit de polynômes de degré
n
i
≤
n
{ {displaystyle n_{i}leq n}
avec
1
≤
i
≤
n
{ « displaystyle » style 1 « i » style « n » style}
y
∑
i
∈
I
n
i
=
n
{displaystyle \textstyle \sum _{iin I}n_{i}=n}
. Plus précisément, il s’agit de factoriser un polynôme à coefficients dans un corps donné ou dans les entiers en polynômes irréductibles à coefficients dans le même domaine.
Par exemple, le polynôme P(x) de degré 5 peut être factorisé comme le produit d’un polynôme de degré 3 et d’un polynôme de degré 2 :
La factorisation polynomiale est utilisée dans :
Les étudiants qui découvrent la factorisation comme principale méthode de résolution des équations quadratiques peuvent être surpris d’apprendre qu’il s’agit de l’une des méthodes les plus récentes pour résoudre ces équations. Vera Sanford note dans son ouvrage A Short History of Mathematics (1930) que « compte tenu de l’importance accordée aujourd’hui à la résolution des équations quadratiques par factorisation, il est intéressant de noter que cette méthode n’a pas été utilisée avant l’ouvrage de Harriot en 1631. Même dans cet ouvrage, l’auteur ne tient pas compte des facteurs donnant lieu à des racines négatives. « Harriot est mort en 1621, et comme tous ses livres, celui-ci, Artis Analyticae Praxis ad Aequationes Algebraicas Resolvendas, a été publié après sa mort. Un article sur Harriot sur le site web de l’histoire des mathématiques de l’université de St Andrews indique que dans ses écrits personnels sur la résolution des équations, Harriot utilisait des solutions positives et négatives, mais son éditeur, Walter Warner, ne les a pas présentées dans son livre. La méthode de factorisation de Harriot peut être différente de ce à quoi s’attendent les étudiants d’aujourd’hui. Dans la première section (Prime Section), Harriot dresse des tableaux pour illustrer l’addition, la soustraction, la multiplication et la division de monômes, de binômes et de trinômes. Puis, dans la deuxième section, il montre une multiplication plus simple qui constitue la base de sa méthode de factorisation. Il pose l’équation aa – ba + ca = + bc, et montre qu’elle correspond à la forme de multiplication qu’il a fournie précédemment,
On factorise ainsi les quatre termes de l’expression ajustée aa – ba + ca – bc.
Cet exemple se trouve à la page 16 de l’Artis Analyticae Praxis ad Aequationes Algebraicas Resolvendas.
Harriot écrit une forme pour chacune des possibilités de (a ± b)(a ± c) avec a étant l’inconnue (où nous pourrions utiliser x aujourd’hui) et ensuite, lorsqu’elles doivent être incorporées, il reprend l’une des formes de réponse. En séparant le coefficient linéaire en deux parties, nous sommes en mesure de décomposer le problème en l’une des formes.
Il n’existe que quelques méthodes générales pouvant être appliquées à tout polynôme à une variable (cas univarié) ou à plusieurs variables (cas multivarié).
Trouver, par inspection, le monôme qui est le plus grand diviseur commun de tous les termes du polynôme et le factoriser en tant que facteur commun est une application de la loi distributive. Il s’agit de la technique de factorisation la plus couramment utilisée. Par exemple.
Une méthode parfois utile, mais dont l’efficacité n’est pas garantie, est la factorisation par regroupement.
La factorisation par regroupement consiste à répartir les termes du polynôme en deux groupes ou plus, chaque groupe pouvant être factorisé par une méthode connue. Les résultats de ces factorisations partielles peuvent parfois être combinés pour donner une factorisation de l’expression originale.
Par exemple, pour factoriser le polynôme
Bien que le regroupement ne puisse pas conduire à une factorisation en général, si l’expression polynomiale n’est pas influencée, se compose de quatre termes et résulte de la multiplication de deux binômes (par la loi distributive), alors la technique de regroupement peut conduire à une factorisation, comme dans l’exemple ci-dessus.
Pour un polynôme à une variable, p(x), le théorème des facteurs stipule que a est une racine du polynôme (c’est-à-dire que p(a) = 0, également appelé zéro du polynôme) si et seulement si (x – a) est un facteur de p(x). L’autre facteur d’une factorisation de p(x) peut être obtenu par division polynomiale ou par division synthétique.
Par exemple, considérons le polynôme
x
3
–
3
x
+
2.
{displaystyle x^{3}-3x+2.}
Par inspection, nous voyons que 1 est la racine de ce polynôme (notez que la somme des coefficients est égale à 0), donc (x – 1) est un facteur du polynôme. Par division longue, on obtient
x
3
–
3
x
+
2
=
(
x
–
1
)
(
x
2
+
x
–
2
)
.
{\displaystyle x^{3}-3x+2=(x-1)(x^{2}+x-2).}
Lorsque le polynôme d’une variable est complètement factorisé en facteurs linéaires (facteurs d’un degré), toutes les racines du polynôme sont visibles et en multipliant à nouveau les facteurs, la relation entre les racines et les coefficients peut être observée. Formellement, ces relations sont connues sous le nom de
formules de Viète. Ces formules n’aident pas à factoriser le polynôme, si ce n’est qu’elles permettent de deviner les racines possibles. Cependant, si l’on connaît des informations supplémentaires sur les racines, on peut les combiner avec les formules pour obtenir les racines et donc la factorisation.
Par exemple, nous pouvons factoriser
x
3
–
5
x
2
–
16
x
+
80
{\displaystyle x^{3}-5x^{2}-16x+80}
si l’on sait que la somme de deux de ses racines est nulle. Soit
r
1
,
r
2
{« displaystyle r_{1},r_{2}}}
y
r
3
{\displaystyle r_{3}}
sont les trois racines de ce polynôme. Dans la suite, les formules de Viète sont :
En supposant que
r
2
+
r
3
=
0
{displaystyle r_{2}+r_{3}}=0}}
donne immédiatement
r
1
=
5
{\displaystyle r_{1}=5}
et réduit les deux autres équations à
r
2
2
=
16.
{Le résultat est donc de 5, 4 et -4, ce qui nous donne une racine de 5.
Les racines sont donc 5, 4 et -4 et nous avons
x
3
–
5
x
2
–
16
x
+
80
=
(
x
–
5
)
(
x
–
4
)
(
x
+
4
)
.
{\displaystyle x^{3}-5x^{2}-16x+80=(x-5)(x-4)(x+4).}
Si un polynôme (à une variable), f(x), a une racine rationnelle, p/q (p et q sont des entiers et q ≠ 0), alors par le théorème des facteurs f(x) a le facteur,
Si, en outre, le polynôme f(x) a des coefficients entiers, alors q doit diviser uniformément la partie entière du plus grand diviseur commun des termes du polynôme, et, dans la factorisation de f(x), seul le facteur (qx – p) sera visible.
Si un polynôme (à une variable) à coefficients entiers, disons,
a une racine rationnelle p/q, où p et q sont des entiers qui sont des nombres premiers l’un de l’autre, alors par le théorème de la racine rationnelle p est un diviseur entier de an et q est un diviseur entier de a0.
Si nous voulions factoriser le polynôme
2
x
3
–
7
x
2
+
10
x
–
6
{\displaystyle 2x^{3}-7x^{2}+10x-6}
nous pourrions chercher des racines rationnelles p/q où p divise -6, q divise 2 et p ou q n’ont pas de facteur commun supérieur à 1. Par inspection, nous voyons que ce polynôme n’a pas de racines négatives. Supposons que q = 2 (sinon nous chercherions les racines des entiers), remplaçons x = p/2 et fixons l’égalité du polynôme à 0.
En multipliant par 4, on obtient
p
3
–
7
p
2
+
20
p
–
24
=
0
{\displaystyle p^{3}-7p^{2}+20p-24=0}
qui aura une solution entière de 1 ou 3 si le polynôme d’origine avait une racine rationnelle du type que nous recherchons. Puisque 3 est une solution de cette équation (et n’est pas 1), le polynôme original avait la racine rationnelle 3/2 et le facteur correspondant (2x – 3). Par division polynomiale longue, nous obtenons la factorisation suivante
2
x
3
–
7
x
2
+
10
x
–
6
=
(
2
x
–
3
)
(
x
2
–
2
x
+
2
)
.
{\displaystyle 2x^{3}-7x^{2}+10x-6=(2x-3)(x^{2}-2x+2).}
Pour un polynôme du second degré à coefficients entiers, ayant des racines rationnelles, les considérations ci-dessus conduisent à une technique de factorisation connue sous le nom de méthode ac de factorisation. En supposant que le polynôme du second degré à coefficients entiers est :
et a des racines rationnelles, p/q et u/v. (Si le discriminant,
b
2
–
4
a
c
{displaystyle b^{2}-4ac}
est un nombre carré, elles existent, sinon nous avons des solutions irrationnelles ou complexes, et il n’y aura pas de racines rationnelles). q et v doivent être des diviseurs de a pour que nous puissions écrire ces fractions avec un dénominateur commun de a, c’est-à-dire qu’elles peuvent être écrites comme -r/a et -s/a (l’utilisation des négations est cosmétique et conduit à un résultat final plus agréable). Ainsi,
Ainsi, nous avons :
Où rs = ac et r + s = b. La méthode ac pour factoriser le polynôme du second degré consiste à trouver r et s, les deux facteurs du nombre ac dont la somme est b, puis à les utiliser dans la formule de factorisation de l’équation quadratique d’origine ci-dessus.
A titre d’exemple, considérons le polynôme du second degré :
L’inspection des facteurs de ac = 36 conduit à 4 + 9 = 13 = b.
Alors que le produit de deux expressions (ou plus) peut être effectué en suivant un algorithme de multiplication, le processus inverse de factorisation est souvent basé sur la reconnaissance d’un modèle dans l’expression à prendre en compte et sur la mémorisation de la manière dont un modèle apparaît. Voici quelques schémas bien connus.
Un type courant de factorisation algébrique concerne la différence de deux carrés. Il s’agit d’appliquer la formule
à l’un ou l’autre des deux termes, qu’ils soient ou non des carrés parfaits.
Cette forme de base est souvent utilisée avec des expressions plus compliquées qui ne semblent pas, à première vue, être la différence de deux carrés. En voici un exemple,
Une autre formule de factorisation est la somme ou la différence de deux cubes. La somme peut être factorisée par
et la différence par
Les n-ièmes factorisations des différences et des sommes de puissances peuvent être étendues à n’importe quelle puissance entière positive n.
Pour tout n, une factorisation générale est :
La formule correspondante pour la somme de deux puissances n-ièmes dépend du fait que n est pair ou impair.
Si n est impair, on peut remplacer b par -b dans la formule ci-dessus, ce qui donne
Si n est pair, nous considérons deux cas :
En particulier, pour certaines petites valeurs de n, nous avons :
Les factorisations ci-dessus donnent des facteurs dont les coefficients sont dans le même domaine que ceux de l’expression à factoriser, par exemple un polynôme à coefficients rationnels (± 1 dans de nombreux cas ci-dessus) est divisé en facteurs qui ont eux-mêmes des coefficients rationnels. Cependant, une factorisation en facteurs dont les coefficients sont des nombres algébriques peut produire des facteurs de degré inférieur, comme dans les formules suivantes qui peuvent être démontrées à l’aide des racines complexes conjuguées de
f
(
a
)
=
a
n
±
b
n
:
{ {displaystyle f(a)=a^{n}pm b^{n}:}
La somme de deux termes ayant des puissances paires égales est éliminée par factorisation.
La différence de deux termes ayant des puissances paires égales est factorisée.
La somme ou la différence de deux termes ayant des puissances impaires est factorisée.
Par exemple, la somme ou la différence de deux puissances cinquièmes est factorisée en
et la somme de deux puissances de quatrième se factorise en
Le théorème binomial fournit des modèles de coefficients qui permettent des factorisations facilement reconnaissables lorsque le polynôme est une puissance d’un binôme.
Par exemple, le trinôme du carré parfait est le polynôme du second degré qui peut être factorisé comme indiqué ci-dessous :
Certains polynômes cubiques peuvent être factorisés en un cube parfait comme suit :
En général, les coefficients du polynôme élargi
(
a
+
b
)
n
{displaystyle (a+b)^{n}}
sont donnés par la « nième » ligne du triangle de Pascal. Les coefficients de
(
a
–
b
)
n
{displaystyle (a-b)^{n}}
ont la même valeur absolue, mais avec des signes alternés.
Tout polynôme du second degré d’une variable (polynômes de la forme
a
x
2
+
b
x
+
c
{displaystyle ax^{2}+bx+c}
) peut être factorisée sur le corps des nombres complexes à l’aide de la formule quadratique, comme suit :
où
α
{ {displaystyle \alpha }
y
β
{displaystyle \beta }
sont les deux racines du polynôme, soit réelles, soit complexes dans le cas où a, b, c sont tous réels, trouvées avec la formule quadratique.
La formule quadratique est valable pour tous les polynômes à coefficients dans n’importe quel domaine (en particulier, les nombres réels ou complexes), à l’exception de ceux de caractéristique deux.
Il existe également des formules pour les polynômes cubiques et quartiques qui peuvent être utilisées de la même manière.
En revanche, il n’existe pas de formules algébriques en termes de coefficients qui s’appliquent à tous les polynômes d’une variable de degré supérieur, par le théorème d’Abel-Ruffini.
Si a et b représentent des nombres réels, la somme de leurs carrés peut s’écrire comme le produit de nombres complexes. On obtient ainsi la formule de factorisation :
Par exemple,
4
x
2
+
49
{\displaystyle 4x^{2}+49}
peut être transformé en
(
2
x
+
7
i
)
(
2
x
–
7
i
)
{ {displaystyle (2x+7i)(2x-7i)}
Matrices
Une factorisation matricielle est la décomposition d’une matrice en un produit de matrices. Il existe plusieurs types de factorisation matricielle ; chacun est utilisé dans une classe particulière de problèmes.
Pouvoirs
Pour factoriser les bases des puissances, il faut factoriser le facteur commun, c’est-à-dire le décomposer en facteurs premiers. Par exemple, si nous voulons factoriser 24 et le mettre sous forme de puissance, nous procédons comme suit :
Nous savons déjà que 24 sous forme de puissance est 23 – 3.