En mathématiques, une fonction exponentielle est une fonction de la forme
f
(
x
)
=
a
b
x
{\displaystyle f(x)=ab^{x}}
où l’argument x est présenté comme un exposant. Une fonction de la forme
f
(
x
)
=
a
b
c
x
+
d
{style f(x)=ab^{cx+d}}
est également une fonction exponentielle, puisqu’elle peut être réécrite comme suit :
En tant que fonctions d’une variable réelle, les fonctions exponentielles se caractérisent uniquement par le fait que le taux de croissance de la fonction (c’est-à-dire sa dérivée) est directement proportionnel à la valeur de la fonction. La constante de proportionnalité de cette relation est le logarithme naturel de base b :
d
d
x
b
x
=
b
x
log
e
b
.
{« displaystyle » {« frac » {d}{dx}}b^{x}=b^{x}log _{e}b.}
La constante e = 2,71828… est l’unique base pour laquelle la constante de proportionnalité est 1, de sorte que la dérivée de la fonction est elle-même :
d
d
x
e
x
=
e
x
logarithme
e
e
=
e
x
.
{« displaystyle » {« frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}{e}e=e^{x}.
Comme le changement de base de la fonction exponentielle se traduit simplement par l’apparition d’un facteur constant supplémentaire, il est pratique sur le plan informatique de réduire l’étude des fonctions exponentielles en analyse mathématique à l’étude de cette fonction particulière, appelée par convention « fonction exponentielle naturelle », ou plus simplement « fonction exponentielle », et désignée par
x
↦
e
x
{« x », ou « e^{x}}
ou
x
↦
exp
(
x
)
.
{displaystyle xmapsto ( x ).
Bien que les deux notations soient courantes, la première est généralement utilisée pour les exposants les plus simples, tandis que la seconde tend à être utilisée lorsque l’exposant est une expression compliquée.
La fonction exponentielle satisfait à l’identité multiplicative fondamentale
e
x
+
y
=
e
x
e
y
,
{\displaystyle e^{x+y}=e^{x}e^{y},}
pour tout
x
,
y
∈
R
.
{ « displaystyle x,y » {R} .}
Cette identité s’étend aux exposants de valeurs complexes. On peut montrer que toute solution continue non nulle de l’équation fonctionnelle
f
(
x
+
y
)
=
f
(
x
)
f
(
y
)
{style f(x+y)=f(x)f(y)}
est une fonction exponentielle,
f
:
R
→
R
,
x
↦
b
x
,
{ « displaystyle f:\mathbb {R} \mathbb {R} ,\ xmapsto b^{x},}
avec L’identité multiplicative fondamentale, ainsi que la définition du nombre e comme e1, montre que
e
n
=
e
×
⋯
×
e
⏟
n
termes
{« displaystyle e^{n}=underbrace {etimes {etimes} _{n termes} }}}}
pour les entiers positifs n et relie la fonction exponentielle à la notion élémentaire d’exponentiation.
L’argument de la fonction exponentielle peut être n’importe quel nombre réel ou complexe ou même un objet mathématique d’un type complètement différent (par exemple une matrice).
Son omniprésence dans les mathématiques pures et appliquées a conduit le mathématicien W. Rudin à affirmer que la fonction exponentielle est « la fonction la plus importante des mathématiques ». Dans les contextes appliqués, les fonctions exponentielles modélisent une relation dans laquelle un changement constant de la variable indépendante entraîne le même changement proportionnel (c’est-à-dire un pourcentage d’augmentation ou de diminution) de la variable dépendante. Ce phénomène est largement répandu dans les sciences naturelles et sociales ; par conséquent, la fonction exponentielle apparaît également dans divers contextes en physique, en chimie, en ingénierie, en biologie mathématique et en économie.
Le graphique de
y
=
e
x
{\displaystyle y=e^{x}}
est en pente ascendante et augmente d’autant plus vite que x est grand. Le graphique se situe toujours au-dessus de l’axe des x, mais peut s’en rapprocher arbitrairement pour les x négatifs ; l’axe des x est donc une asymptote horizontale. La pente de la tangente au graphique en chaque point est égale à sa coordonnée y en ce point, comme l’indique sa fonction dérivée. Sa fonction inverse est le logarithme naturel, noté
log
,
{« log ».}
ln
,
{ {displaystyle \ln ,}
o
log
e
;
{ {displaystyle _{e};}
C’est pour cette raison que certains textes anciens appellent la fonction exponentielle l’antilogarithme.
Définition formelle
La fonction exponentielle réelle
exp
:
R
→
R
{« displaystyle » : exp {R} \{R} }
peut être caractérisée de plusieurs manières équivalentes. Le plus souvent, elle est définie par la série de puissances suivante.
Comme le rayon de convergence de cette série de puissances est infini, cette définition est en fait applicable à tous les nombres complexes.
z
∈
C
{ « z » style {C} }
La différenciation terme à terme de cette série de puissances révèle que
(
d
/
d
x
)
(
exp
x
)
=
exp
x
(d/dx)(exp x)=exp x}
pour tout réel x, ce qui conduit à une autre caractérisation courante de
exp
(
x
)
{ displaystyle exp ( x )
comme unique solution de l’équation différentielle
satisfaisant la condition initiale
y
(
0
)
=
1.
{displaystyle y(0)=1.}
Sur la base de cette caractérisation, la règle de la chaîne montre que sa fonction inverse, le logarithme naturel, satisfait aux conditions suivantes
(
d
/
d
y
)
(
log
e
y
)
=
1
/
y
{« displaystyle (d/dy)(\log _{e}y)=1/y}
pour 0,} »>y
>0
,
{displaystyle y>0,}
0,} »>o
log
e
y
=
∫
1
y
1
t
d
t
.
{textstyle _{e}y={1}^{y}{frac {1}{t}},dt.}
Cette relation conduit à une définition moins courante de la fonction exponentielle réelle
exp
(
x
)
{« displaystyle » comme solution.
comme solution
y
{displaystyle y}
à l’équation
Grâce au théorème binomial et à la définition de la série des puissances, la fonction exponentielle peut également être définie comme la limite suivante.
Vue d’ensemble
La fonction exponentielle apparaît lorsqu’une quantité croît ou décroît à un taux proportionnel à sa valeur actuelle. C’est d’ailleurs cette observation qui a conduit Jacob Bernoulli, en 1683, au nombre connu aujourd’hui sous le nom de e. Plus tard, c’est la fonction exponentielle qui a conduit au nombre connu aujourd’hui sous le nom de e. Plus tard, en 1683, c’est la fonction exponentielle qui a conduit au nombre connu aujourd’hui sous le nom de e.
Plus tard, en 1697, Johann Bernoulli étudia le calcul de la fonction exponentielle.
Si un montant principal de 1 rapporte des intérêts à un taux annuel de x en capitalisation mensuelle, les intérêts perçus chaque mois sont x/12 fois la valeur actuelle, de sorte que chaque mois, la valeur totale est multipliée par (1 + x/12), et la valeur à la fin de l’année est (1 + x/12)12. Si, en revanche, les intérêts sont composés quotidiennement, la valeur devient (1 + x/365)365. Laisser croître sans limite le nombre d’intervalles de temps par an conduit à la définition limite de la fonction exponentielle,
Il s’agit de l’une des nombreuses caractérisations de la fonction exponentielle ; d’autres font intervenir des séries ou des équations différentielles.
A partir de n’importe laquelle de ces définitions, on peut montrer que la fonction exponentielle obéit à l’identité de base de l’exponentiation,
ce qui justifie la notation ex.
La dérivée (taux de variation) de la fonction exponentielle est la fonction exponentielle elle-même. Plus généralement, une fonction dont le taux de variation est proportionnel (plutôt qu’égal) à la fonction elle-même peut être exprimée en termes de fonction exponentielle. Cette propriété de la fonction conduit à une croissance exponentielle ou à une décroissance exponentielle.
La fonction exponentielle s’étend à une fonction complète dans le plan complexe. La formule d’Euler relie ses valeurs en arguments purement imaginaires aux fonctions trigonométriques. La fonction exponentielle a également des analogues pour lesquels l’argument est une matrice, ou même un élément d’une algèbre de Banach ou d’une algèbre de Lie.
Dérivées et équations différentielles
L’importance de la fonction exponentielle en mathématiques et en sciences vient principalement de sa définition en tant que fonction unique qui est égale à sa dérivée et qui est égale à 1 lorsque x = 0,
Les fonctions de la forme cex pour une constante c sont les seules fonctions qui sont égales à leur dérivée (selon le théorème de Picard-Lindelöf). Voici d’autres façons de dire la même chose :
Si le taux de croissance ou de décroissance d’une variable est proportionnel à sa taille, comme dans le cas d’une croissance démographique illimitée (voir catastrophe malthusienne), d’un intérêt composé en continu ou d’une décroissance radioactive, alors la variable peut être écrite sous la forme d’une fonction exponentielle pour le temps. Explicitement, pour toute constante réelle k, une fonction f : R → R satisfait f′ = kf si et seulement si f (x) = cekx pour une certaine constante c. k, une fonction satisfait si et seulement si f(x) = cekx pour une certaine constante c.
De plus, pour toute fonction différentiable f(x), on trouve, par la règle de la chaîne :
Fractions continues pour ex
Une fraction continue pour ex peut être obtenue par une identité d’Euler :
La fraction continue généralisée suivante pour ez converge plus rapidement.
ou par substitution. z = x/y :
avec un cas particulier pour z = 2 :
Cette formule converge également, mais plus lentement, pour z>2. Par exemple :
Plan complexe
Comme dans le cas réel, la fonction exponentielle peut être définie dans le plan complexe de plusieurs manières équivalentes. La définition la plus courante de la fonction exponentielle complexe est parallèle à la définition de la série des puissances pour les arguments réels, où la variable réelle est remplacée par une variable complexe :
La multiplication de deux copies de ces séries de puissances au sens de Cauchy, permise par le théorème de Mertens, montre que la propriété multiplicative déterminante des fonctions exponentielles reste valable pour tous les arguments complexes :
La définition de la fonction exponentielle complexe conduit à son tour aux définitions appropriées étendant les fonctions trigonométriques aux arguments complexes.
En particulier, lorsque
z
=
i
t
{displaystyle z=it}
(
t
{\displaystyle t}
réel), la définition de la série produit le développement
Dans ce développement, le réarrangement des termes en parties réelles et imaginaires est justifié par la convergence absolue de la série. Les parties réelles et imaginaires de l’expression ci-dessus correspondent en fait aux développements des séries de
cos
t
{cos t}
y
sans
t
{displaystyle \sans t}
respectivement.
Cette correspondance motive la définition du cosinus et du sinus pour tous les arguments complexes en termes de
exp
(
±
i
z
)
{« displaystyle » (iz)}
et la série de puissance équivalente.
Les fonctions exp, cos et sin, ainsi définies, ont un rayon de convergence infini par le test du rapport et sont donc des fonctions complètes (c’est-à-dire holomorphes dans
C
{« displaystyle \mathbb {C} }
). Le domaine de la fonction exponentielle est
C
∖
{
0
}
{ « displaystyle » { « mathbb » {C} \setminus \{0}}
{ 0}, tandis que les plages des fonctions sinus et cosinus complexes sont les suivantes
{« displaystyle \mathbb {C} }
dans sa totalité, conformément au théorème de Picard, qui stipule que l’intervalle d’une fonction complète non constante est
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
o
C
{displaystyle \mathbb {C} }
à l’exclusion d’une valeur lacunaire.
Ces définitions des fonctions exponentielles et trigonométriques conduisent trivialement à la formule d’Euler :
Nous pourrions également définir la fonction exponentielle complexe sur la base de cette relation. Si
z
=
x
+
i
y
{displaystyle z=x+iy}
où
x
{affichage x}
y
y
{\displaystyle y}
sont réels, nous pourrions définir leur exponentielle comme suit
où exp, cos et sin du côté droit du signe de définition doivent être interprétés comme des fonctions d’une variable réelle, préalablement définies par d’autres moyens.
Pour
t
∈
R
{ « displaystyle t » {R} }
}, la relation
exp
(
i
t
)
¯
=
exp
(
–
i
t
)
{ « displaystyle » { « overline » { « exp(it)}= « exp(-it)}
est maintenue, de sorte que
|
exp
(
i
t
)
|
=
1
{displaystyle |exp(it)|=1}
pour les réels
t
{\displaystyle t}
y
t
↦
exp
(
i
t
)
{ « displaystyle t » mapping (it)}
mappe la ligne actuelle (mod
2
π
{) au cercle unitaire.
) au cercle unitaire. Sur la base de la relation entre
exp
(
i
t
)
{ « displaystyle » et le cercle unitaire, il est facile de voir que, restreintes aux arguments réels, les définitions données ci-dessus coïncident avec leurs définitions les plus élémentaires basées sur des notions géométriques.
et le cercle unitaire, il est facile de voir que, restreintes aux arguments réels, les définitions du sinus et du cosinus données ci-dessus coïncident avec leurs définitions les plus élémentaires basées sur des notions géométriques.
La fonction exponentielle complexe est périodique avec une période de
2
π
i
{displaystyle 2 π i}
y
exp
(
z
+
2
π
i
k
)
=
exp
z
{displaystyle exp(z+2pi ik)= exp z}
pour tout
z
∈
C
,
k
∈
{ « playstyle z » {C} ,k « k » \mathbb {Z} }
.
Lorsque son domaine est étendu de la droite réelle au plan complexe, la fonction exponentielle conserve les propriétés suivantes :
L’extension du logarithme naturel à des arguments complexes produit le logarithme complexe log z, qui est une fonction multivaluée.
Nous pouvons définir une exponentiation plus générale :
pour tous les nombres complexes z et w. Il s’agit également d’une fonction multivaluée, même si z est réel. Cette distinction est problématique, car les fonctions multivaluées log z et zw sont facilement confondues avec leurs équivalents à valeur unique lorsque l’on remplace z par un nombre réel. La règle de multiplication des exposants dans le cas des nombres réels positifs doit être modifiée dans un contexte multivalué :
La fonction exponentielle transforme toute ligne du plan complexe en une spirale logarithmique dans le plan complexe dont le centre est à l’origine. Deux cas particuliers méritent d’être notés : lorsque la ligne d’origine est parallèle à l’axe réel, la spirale résultante ne se referme jamais sur elle-même ; lorsque la ligne d’origine est parallèle à l’axe imaginaire, la spirale résultante est un cercle d’un certain rayon.
z = Re(ex + iy)
z = Im(ex + iy)
z = abs(ex + iy)
Considérer la fonction exponentielle complexe comme une fonction impliquant quatre variables réelles :
Le graphique de la fonction exponentielle est une surface bidimensionnelle qui se courbe en quatre dimensions.
En commençant par une partie du domaine codée en couleur
x
y
{\displaystyle xy}
les représentations suivantes sont des représentations du graphique tel qu’il est projeté en deux ou trois dimensions.
Clave : 0:\;{\text{verde}}} »>x
>0
:
verde
{\displaystyle x>0:\;{\text{verde}}}
0:\;{\text{verde}}} »>x
0
:
rojo
{\displaystyle x<0:\;{\text{rojo}}}
0:\;{\text{amarillo}}} »>y
>0
:
amarillo
{« {displaystyle y>0:0;{« text{yellow}} ».
0:\;{\text{amarillo}}} »>y
0
:
bleu
{\displaystyle y<0:\;{\text{azul}}}
Projection sur le plan complexe (V/W). Comparer avec l’image en perspective suivante.
Projection en dimensions
x
{displaystyle x}
,
v
{\displaystyle v}
y
w
{displaystyle w}
produisant une forme de cornet ou d’entonnoir évasé (conçu comme une image en perspective à deux dimensions).
Projection dans les dimensions
y
{displaystyle y}
,
v
{displaystyle v}
y
w
{displaystyle w}
produisant une forme de spirale (
y
{\displaystyle y}
étendue à ± 2π, toujours en perspective 2D).
La deuxième image montre comment le plan du domaine complexe est mappé sur le plan de la plage complexe :
Les troisième et quatrième images montrent comment le graphique de la deuxième image est étendu à l’une des deux autres dimensions non représentées dans la deuxième image.
La troisième image montre le graphique étendu le long de l’axe réel.
x
{displaystyle x}
. Elle montre que le graphique est une surface de révolution sur l’axe des
x
{displaystyle x}
du graphique de la fonction exponentielle réelle, ce qui donne une forme de corne ou d’entonnoir.
La quatrième image montre le graphique étiré le long de l’axe imaginaire
y
{displaystyle y}
. Elle montre que la surface du graphique pour
y
{\displaystyle y}
positive et négative ne coïncide pas avec l’axe réel
v
{displaystyle v}
négatif, mais forment plutôt une surface en spirale autour de l’axe
y
{displaystyle y}
. Parce que son
y
{displaystyle y}
ont été étendues à ± 2π, cette image représente également mieux la périodicité 2π dans la valeur imaginaire
y
{displaystyle y}
L’exponentiation complexe ab peut être définie en convertissant les coordonnées polaires et en utilisant l’identité (eln(a))b = ab :
Cependant, lorsque b n’est pas un entier, cette fonction est multivaluée, car θ n’est pas unique.
Fonction exponentielle générale
Si l’on prend comme base le nombre complexe a différent de e, et comme variable l’exposant z, on a que la fonction exponentielle générale w = f(z)=
a
z
{\displaystyle a^{z}}
est définie comme suit : :
w
=
a
z
=
e
z
Logarithme
a
=
e
z
ln
|
a
|
⋅
e
z
i
Arg
a
{\displaystyle w=a^{z}=e^{z\operatorname {Log} a}=e^{z\ln |a|}\cdot e^{zi\operatorname {Arg} a}}
Il s’agit d’une famille de fonctions univariées, sans lien entre elles, qui se distinguent par les facteurs exp(2kπiz), où k est un nombre entier quelconque.
Matrices et algèbres de Banach
La définition de la série de puissance de la fonction exponentielle a un sens pour les matrices carrées (pour lesquelles la fonction est appelée matrice exponentielle) et plus généralement dans toute B-algèbre de Banach. Dans ce cadre, e0 = 1, et ex est inversible avec e inverse e-x pour tout x dans B. Si xy = yx, alors ex + y = exey, mais cette identité peut ne pas commuer x et y.
Certaines définitions alternatives conduisent à la même fonction. Par exemple, ex peut être définie comme :
Ou ex peut être définie comme f(1), où f : R→B est la solution de l’équation différentielle f ′(t) = xf(t) avec la condition initiale f(0) = 1.
Algèbres de Lie
Étant donné un groupe de Lie G et son algèbre de Lie associée
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
la carte exponentielle est une carte
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
↦ G satisfaisant des propriétés similaires. En fait, puisque R est l’algèbre de Lie du groupe de Lie de tous les nombres réels positifs sous multiplication, la fonction exponentielle ordinaire pour les arguments réels est un cas particulier de la situation de l’algèbre de Lie. De même, puisque le groupe de Lie GL(n,R) des matrices inversibles n × n a pour algèbre de Lie M(n,R), l’espace de toutes les matrices n × n, la fonction exponentielle pour les matrices carrées est un cas particulier de la carte exponentielle de l’algèbre de Lie.
L’identité exp(x + y) = exp(x)exp(y) peut échouer pour des éléments de l’algèbre de Lie x et y qui ne commutent pas ; la formule de Baker – Campbell – Hausdorff fournit les termes de correction nécessaires.
Transcendance
La fonction ez n’est pas dans C(z) (c’est-à-dire qu’elle n’est pas le quotient de deux polynômes à coefficients complexes).
Pour n nombres complexes distincts {a1, …, an}, l’ensemble {ea1z, …, eanz} est linéairement indépendant sur C(z).
La fonction ez est transcendante sur C(z).
Calcul
Lors du calcul (d’une approximation) de la fonction exponentielle, si l’argument est proche de 0, le résultat sera proche de 1, et le calcul de la différence
exp
(
x
)
–
1
{displaystyle \exp(x)-1}
peut entraîner une perte de précision.
Suivant une proposition de William Kahan, il peut être utile d’avoir une routine dédiée, souvent appelée expm1, pour calculer ex – 1 directement, sans passer par le calcul de ex. Par exemple, si l’exponentielle est calculée à l’aide de sa série de Taylor
on peut utiliser la série de Taylor
e
x
–
1
:
{ {displaystyle e^{x}-1:}
Cette méthode a été mise en œuvre pour la première fois en 1979 sur la calculatrice Hewlett-Packard HP-41C et a été reprise par plusieurs calculatrices, systèmes de calcul formel et langages de programmation (par exemple C99).
Une approche similaire a été utilisée pour le logarithme (voir lnp1).
Une identité en termes de tangente hyperbolique,
fournit une valeur de haute précision pour les petites valeurs de x dans les systèmes qui n’implémentent pas expm1(x).