En mathématiques, et plus particulièrement en analyse complexe, la formule de Jensen, présentée par Johan Jensen en 1899, relie la magnitude moyenne d’une fonction analytique sur un cercle au nombre de ses zéros à l’intérieur du cercle. Elle constitue un énoncé important dans l’étude des fonctions complètes.
L’énoncé
Supposons que ƒ est une fonction analytique dans une région du plan complexe contenant le disque fermé D de rayon r autour de l’origine, a1, a2, …, an sont les zéros de ƒ à l’intérieur de D répétés selon la multiplicité, et ƒ(0) ≠ 0. La formule de Jensen énonce que
Cette formule établit un lien entre les modules des zéros de la fonction ƒ à l’intérieur du disque D et le logarithme moyen |f(z)| sur le cercle limite |z| = r, et peut être considérée comme une généralisation de la propriété de la valeur moyenne des fonctions harmoniques. En effet, si f n’a pas de zéros dans D, la formule de Jensen se réduit à
qui est la propriété de la valeur moyenne de la fonction harmonique
log
|
f
(
z
)
|
{displaystyle | f(z)|}
.
Un énoncé équivalent de la formule de Jensen, souvent utilisé, est le suivant
où
n
(
t
)
{displaystyle n(t)}
désigne le nombre de zéros de
f
{style f}
sur le disque radio
t
{style d’affichage t}
centré sur l’origine.
La formule de Jensen peut être généralisée pour les fonctions qui sont simplement méromorphes dans D. En particulier, elle suppose que
où g et h sont des fonctions analytiques sur D qui ont des zéros en
a
1
,
…
,
a
n
∈
D
∖
{
0
}
{ « a_displaystyle a_{1},a_{n},a_{n}in \mathbb {D} \N- « backslash » {D}
y
b
1
,
…
,
b
m
∈
D
∖
{
0
}
{ « b_displaystyle b_{1},b_{1},b_{mathbb} {D} \ »backslash \{0}}
respectivement, alors la formule de Jensen pour les fonctions méromorphes stipule que
La formule de Jensen peut être utilisée pour estimer le nombre de zéros de la fonction analytique sur un cercle. En effet, si f est une fonction analytique sur un disque de rayon R centré en z 0 et si | f | est bornée par M sur la frontière de ce disque, alors le nombre de zéros de f sur un cercle de rayon r La formule de Jensen est une conséquence de la formule plus générale de Poisson – Jensen, qui découle à son tour de la formule de Jensen en appliquant une transformation de Möbius à z. Elle a été introduite et nommée par Rolf Nevanlinna. Si f est une fonction analytique sur le disque unitaire, avec des zéros a1, a2, …, an situés à l’intérieur du disque unitaire, alors pour tout z {{displaystyle z_{0}=r_{0}e^{i_varphi _{0}}} Ici, la formule de Poisson – Jensen indique que qui est la formule de Poisson pour la fonction harmonique Formule de Poisson – Jensen
0
=
r
0
e
i
φ
0
dans le lecteur de disque, la formule de Poisson – Jensen indique que
est le noyau de Poisson dans le disque unitaire. Si la fonction f n’a pas de zéros dans le disque unitaire, la formule de Poisson-Jensen se réduit à
log
|
f
(
z
)
|
{displaystyle | f(z)|}
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