Dans la théorie mathématique des processus stochastiques, le temps local est un processus stochastique associé aux processus de diffusion tels que le mouvement brownien, qui caractérise le temps passé par une particule à un niveau spécifique. Le temps local est très utile et apparaît souvent dans diverses formules d’intégration stochastique si l’intégrande n’est pas suffisamment régulière, comme dans le cas de la formule de Tanaka.
Définition formelle
Mathématiquement, la définition du temps local est la suivante
où b(s) est le processus de diffusion et δ est le delta de Dirac. Il s’agit d’un concept inventé par Paul Pierre Lévy. L’idée de base est que ℓ(t, x) est une mesure (rééchelonnée) du temps que b(s) a passé à x jusqu’à l’instant t. Cela peut s’exprimer comme suit :
où l’on comprend pourquoi on l’appelle le temps local de b en x.