Mer
(
X
,
T
)
{ {displaystyle (X,{mathcal {T}})}
un espace topologique, et
A
⊂
X
{displaystyle A ⊂ X}
. L’intérieur de
A
{style A}
(noté
int
(
A
)
{\displaystyle {\text{int}}(A)}
,
A
∘
{\displaystyle {\stackrel {\ \circ }{A}}}
, o
A
∘
{\displaystyle A^{\circ }}
) comme l’union de tous les ouverts contenus dans l’ensemble des
A
{displaystyle A}
. c’est-à-dire
V
=
int
(
A
)
{« displaystyle V={« int}(A)}
si et seulement si V est ouvert, qu’il est contenu dans A et que tout autre ouvert contenu dans A est également contenu dans
V
{displaystyle V}
(voir #Exemples).
Caractérisation
Constructivement, elle est définie
int
(
A
)
=
⋃
{
V
∈
T
:
V
⊂
A
}
{ « displaystyle » { « box » (A)= « pigcup ».
. Notons que cette construction garantit l’existence de cet ouvert maximal, puisque l’union des ouvertures est un ouvert et que l’ensemble vide est toujours contenu dans A.
L’intérieur topologique peut être caractérisé dans le cas général au moyen d’environnements comme suit :
Si
(
X
,
T
)
{ {displaystyle (X,{mathcal {T}})}
consiste en un espace métrique, il peut être développé davantage :
Dans ce cas, un point
a
∈
A
{displaystyle a}
fait partie de l’intérieur de
A
{displaystyle A}
que s’il existe une boule ouverte contenue dans
A
{style d’affichage A}
centrée sur le point
a
{style d’affichage a}
de rayon 0} »>
ϵ
>0
{displaystyle \epsilon>0}
0″>, c’est-à-dire un rayon positif (cela découle de la définition : une boule ouverte a nécessairement un rayon positif).
Propriétés
Voici les principales propriétés de l’intérieur :
Il existe des ensembles dont l’intérieur est l’ensemble vide, et dont l’adjoint est l’espace entier, comme par exemple les irrationnels
I
{\displaystyle \mathbb {I} }
et les rationnels
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
sur la droite réelle. Car si l’on considère k comme un élément de ℚ et de l’intervalle ouvert, cet intervalle qui porte k n’est pas inclus dans ℚ.
Exemples
L’intérieur de l’ensemble sous la forme d’un intervalle
I
=
[
a
,
b
)
{ {displaystyle I=[a,b)}
est précisément
int
(
I
)
=
(
a
,
b
)
{ {« text{int}}(I)=(a,b)}
), on voit que cet ensemble est ouvert et contenu dans I, donc l’union de toute collection dénombrable de sous-intervalles ouverts de I de la forme
(
a
i
,
b
i
)
{\displaystyle (a_{i},b_{i})}
con a,b_{i}
a
i
>a
,
b
i
b
{\displaystyle a_{i}>a,b_{i}
⋃
i
(
a
i
,
b
i
)
=
(
a
1
,
b
1
)
∪
(
a
2
,
b
2
)
∪
⋯
⊂
(
a
,
b
)
{\displaystyle \bigcup _{i}(a_{i},b_{i})=(a_{1},b_{1})\cup (a_{2},b_{2})\cup \dots \subset (a,b)}
Puisqu’ils sont tous inclus dans
int
(
I
)
=
(
a
,
b
)
{« displaystyle {« text{int}}(I)=(a,b)}
d’autre part l’ensemble
[
a
,
b
)
=
(
a
,
b
)
∪
{
a
}
{ {displaystyle [a,b)=(a,b)=(a,b)}
n’est pas ouvert et, pour cette raison, le plus grand ensemble ouvert possible qu’il contient est
(
a
,
b
)
=
int
(
I
)
{ {displaystyle (a,b)={text{int}}(I)}
. Pour compléter les détails de la preuve, il faut voir que tout sous-ensemble ouvert de
I
=
[
a
,
b
)
{displaystyle I=[a,b)}
est contenu dans
(
a
,
b
)
{ {displaystyle (a,b)}
ce qui est simple en prouvant que tout ensemble d’ouverts contenus dans
[
a
,
b
)
{ {displaystyle [a,b)}
est une union d’intervalles de la forme
(
a
i
,
b
i
)
{ « displaystyle (a_{i},b_{i})}
(sous la condition que a,b_{i}
a
i
>a
,
b
i
b
{displaystyle a_{i}>a,b_{i}
De même, on peut montrer que
int
[
a
,
b
]
=
(
a
,
b
)
{ « displaystyle » { « text » = (a,b)}
qui
int
(
a
,
b
]
=
(
a
,
b
)
{ « displaystyle { « text »(a,b]=(a,b)}
ou que
int
(
a
,
b
)
=
(
a
,
b
)
{ « displaystyle { text{int}}(a,b)=(a,b)}
(dans ce cas, l’ensemble lui-même est son intérieur).
Le cercle unitaire S1 a un intérieur vide. C’est-à-dire
int
(
S
1
)
=
∅
{« displaystyle {text {int}}(S^{1})=varnothing }
Ce cas est assez clair si l’on réalise qu’il n’existe pas de boule ouverte contenue dans ce cercle. Si l’on considère les points du cercle fermé D1
D
1
=
{
(
x
,
y
)
|
x
2
+
y
2
≤
1
}
{ {displaystyle D^{1}={(x,y)}{(x,y)}+y^{2}{1}}}
Nous constatons alors que
int
(
D
1
)
=
B
1
(
(
0
,
0
)
)
≡
B
1
(
0
)
{\displaystyle {\text{int}}(D^{1})=B_{1}((0,0))\equiv B_{1}(0)}
. Nous pouvons facilement construire ce cas :
En utilisant ces deux propositions, nous pouvons conclure que
B
1
(
0
)
=
int
(
D
1
)
{\displaystyle B_{1}(0)={\text{int}}(D^{1})}
ce que nous voulions vérifier.