En géométrie, la médiane, la moyenne ou la transversale de gravité d’un triangle est le segment de droite reliant un sommet au point médian du côté opposé.
Propriétés
Les propriétés suivantes sont observées pour les médianes :
3
4
p
(
m
a
+
m
b
+
m
c
)
3
2
p
{ « displaystyle » { « frac » {3}{4}p<"fleft"(m_{a}+m_{b}+m_{c}right)<"frac" {3}{2}p
Relation avec le centre de gravité
Chacune des trois médianes d’un triangle passe par le centroïde du triangle, qui coïncide avec le centre de gravité d’un objet triangulaire (s’il est de densité uniforme). Ainsi, un tel objet serait en équilibre sur n’importe quelle transversale de gravité (ligne passant par le centre de gravité). Les médianes ne sont que trois transversales de gravité, parmi le faisceau infini de transversales de gravité du triangle.
Théorème de la médiane
En géométrie, le théorème d’Apollonius, également appelé théorème de la médiane, est une proposition reliant la longueur de la médiane d’un triangle aux longueurs de ses côtés.
Théorème d’Apollonius (théorème de la médiane)
Pour tout triangle, la somme des carrés de deux côtés est égale à la moitié du carré du troisième côté plus deux fois le carré de la médiane correspondante.
Pour tout triangle ΔABC (voir fig. m1), si mc est la médiane correspondant au côté c, où AP = PB = ½ c, alors :
a
2
+
b
2
=
1
2
c
2
+
2
m
c
2
{\displaystyle a^{2}+b^{2}={\frac {1}{2}}\;c^{2}+2\;m_{c}^{2}}
Formules algébriques pour les médianes en fonction des côtés
Du théorème d’Apollonius, également appelé « théorème des médianes », on peut déduire plusieurs formules pratiques (valables pour tout triangle). Elles permettent de calculer à partir de la connaissance de trois éléments jusqu’à un quatrième élément inconnu (les éléments en question sont les côtés et les médianes). Le tableau suivant en présente un résumé (avec la notation selon la figure dans le tableau lui-même) :
Triangle médian
Un triangle par rapport à un autre triangle est appelé triangle médian si ses sommets sont les milieux d’un triangle donné.
Médiane d’un trapèze
Dans tout trapèze, le segment joignant les milieux des côtés non parallèles est appelé médiane. Dans certains pays (par exemple au Chili), la médiane parallèle est appelée médiane, tandis que le concept de médiane est appelé transversale de gravité.