En mathématiques, plus précisément dans le domaine de la géométrie, la surface de Boy est une immersion du plan projectif réel dans l’espace tridimensionnel, découverte par Werner Boy en 1901, à la suite d’une commande de David Hilbert visant à prouver que le plan projectif ne pouvait pas être intégré dans l’espace tridimensionnel. Cette surface est discutée (et illustrée) dans l’ouvrage de Jean-Pierre Petit, Topo the world.
Cette surface est discutée (et illustrée) dans Topo the world de Jean-Pierre Petit. Bernard Morin l’a paramétrée explicitement pour la première fois en 1978, et Rob Kusner et Robert Bryant ont découvert une deuxième paramétrisation en 1987. La surface de Boy est l’une des deux immersions possibles du plan projectif réel qui possède un seul point triple.
Contrairement à la surface romaine et à la calotte croisée, elle ne présente pas d’autres singularités que des auto-intersections (c’est-à-dire pas de points de pincement).
Construction
Construire la surface de Boy :
Symétrie de la surface de Boy
La surface de Boy présente une triple symétrie. Cela signifie qu’elle possède un axe de symétrie rotative discret : toute rotation de 120° autour de cet axe laissera la surface exactement la même. La surface peut être coupée en trois morceaux mutuellement congruents.
Modèle à Oberwolfach
L’Institut de recherche mathématique d’Oberwolfach possède, près de son entrée, un grand modèle de la surface de Boy, construit et offert par Mercedes-Benz en janvier 1991. Ce modèle présente une triple symétrie de rotation et minimise l’énergie de Willmore de la surface. Il est constitué de bandes d’acier représentant l’image d’une grille de coordonnées polaires selon une paramétrisation donnée par Robert Bryant et Rob Kusner. Les méridiens (rayons) sont convertis en bandes de Möbius, c’est-à-dire tordus de 180 degrés. Toutes les bandes correspondant aux cercles de latitude (cercles radiaux autour de l’origine), sauf une, ne sont pas tordues, tandis que celle correspondant à la limite du cercle est une bande de Möbius tordue trois fois à 180 degrés – comme l’emblème de l’institut. (Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach, 2011).
Applications
La surface de Boy peut être utilisée sur la sphère d’éversion, comme un modèle intermédiaire, une immersion de la sphère avec la propriété qu’une rotation est échangée à l’intérieur et à l’extérieur, de sorte qu’elle peut être utilisée pour convertir (amener l’intérieur à l’extérieur) une sphère. Les surfaces de Boy (cas p = 3) et de Morin (cas p = 2) sont le début d’une séquence de modèles intermédiaires à symétrie supérieure proposés pour la première fois par George Francis, indexés par les entiers pairs 2p (curieusement, ces immersions peuvent être factorisées à travers un plan projectif). La paramétrisation de Kusner permet de déduire ces propriétés.
Réglage des paramètres
La surface de Boy peut être paramétrée de plusieurs façons. La paramétrisation découverte par Rob Kusner et Robert Bryant est la suivante : étant donné un nombre complexe w dont la magnitude est inférieure ou égale à un (
‖
w
‖
≤
1
{displaystyle ‖ w ‖ ≤ 1}
), soit
donc
où x, y et z sont les coordonnées cartésiennes souhaitées d’un point de la surface de Boy.
Si l’on effectue une inversion de ce paramétrage centré sur le point triple, on obtient une surface minimale complète avec trois extrêmes (c’est ainsi que ce paramétrage a été découvert naturellement). Cela implique que la paramétrisation de Bryant-Kusner des surfaces de Boy est « optimale » dans le sens où il s’agit de l’immersion « la moins courbée » d’un plan projectif dans un espace tridimensionnel.
Si w est remplacé par l’inverse négatif de son conjugué complexe,
–
1
w
⋆
,
{ textstyle -{1 sur w^{star }},}
alors les fonctions g1, g2 et g3 de w restent inchangées.
En substituant w en termes de ses parties réelle et imaginaire w = s + it et en développant l’expression résultante, on obtient une paramétrisation de la surface de Boy en termes de fonctions rationnelles de s et t, ce qui montre qu’il ne s’agit pas seulement d’une surface algébrique, mais même d’une surface rationnelle. L’observation du paragraphe précédent montre que la fibre générique de cette paramétrisation est constituée de deux points (c’est-à-dire que presque tous les points de la surface de Boy peuvent être obtenus par deux valeurs paramétriques).
Mer
P
(
w
)
=
(
x
(
w
)
,
y
(
w
)
,
z
(
w
)
)
{ {style P(w)=(x(w),y(w),z(w))}
le paramétrage de Bryant-Kusner de la surface de Boy. Dans ce cas,
Ceci explique la condition que
‖
w
‖
≤
1
{ ‖ ‖ ≤ 1}
en paramètre : si
‖
w
‖
1
,
{ « ‖ w ‖<1.}
then 1.} »>‖.
–
1
⋆
‖
>1.
{« > »textstyle »> »1.
1.} »>Toutefois, les choses sont un peu plus compliquées pour.
‖
w
‖
=
1.
{« displaystyle » = 1.}
Dans ce cas, il s’ensuit que
–
1
w
⋆
–
w
.
{ « textstyle -{1 over w^{star }}=-w.} ».
Cela signifie que si
‖
w
‖
=
1
,
{ ‖ = 1, }
le point sur la surface de Boy est obtenu à partir de deux valeurs de paramètres :
P
(
w
)
=
P
(
–
w
)
.
{style P(w)=P(-w).
En d’autres termes, la surface a été paramétrée par un disque de sorte que les paires de points diamétralement opposés sur le périmètre du disque sont équivalentes. Cela montre que la surface de Boy est l’image du plan projectif réel RP2 par une application différentiable. En d’autres termes, la paramétrisation est une immersion du plan projectif réel dans l’espace euclidien.