Le théorème de Darboux est un théorème dans le domaine mathématique de la géométrie différentielle, et plus spécifiquement des formes différentielles, généralisant partiellement le théorème d’intégration de Frobenius. Il s’agit d’un résultat fondamental dans plusieurs domaines, dont le principal est celui de la géométrie symplectique. Le théorème est nommé en reconnaissance du mathématicien français Jean Gaston Darboux qui l’a établi en 1882 comme solution du problème de Pfaff et qui a également prouvé un résultat analogue en géométrie de contact.
Le théorème stipule que toutes les variétés symplectiques sont localement symplectomorphes. Cela signifie que pour toute variété de dimension 2n, il existe un homéomorphisme avec l’espace linéaire symplectique
(
R
2
n
,
ω
0
)
{displaystyle (\mathbb {R} ^{2n},\omega _{0})}
dotée de la forme symplectique canonique ω0. De manière équivalente, le théorème implique que dans l’environnement de tout point, un ensemble de coordonnées canoniques peut être défini.
Énoncé du théorème
L’énoncé précis du problème est le suivant :
ω
=
∑
i
=
1
n
d
p
i
∧
d
q
i
{displaystyle =sum _{i=1}^{n}dp_{i}wedge dq_{i}}
Plus formellement
ω
=
ϕ
∗
ω
0
{« displaystyle » = « ϕ » = « ϕ » = « ϕ » = « ϕ » = « ϕ » = « ϕ » = « ϕ » = « ϕ » = « ϕ » = « ϕ » = « ϕ ».
Le diagramme UP local est appelé diagramme local de Darboux autour de P. La variété symplectique
(
M
,
ω
)
{displaystyle ({mathcal {M},ω )}
peut être recouvert par une couverture formée par les lettres de Darboux. L’ensemble des coordonnées de Darboux est généralement appelé, en mécanique hamiltonienne, coordonnées canoniques.
Comparaison avec la géométrie riemannienne
Ce résultat implique qu’il n’y a pas d’invariants locaux en géométrie symplectique. Il est toujours possible de choisir un système de coordonnées canoniques ou des coordonnées de Darboux, quel que soit le point, c’est-à-dire que tous les points ont une certaine équivalence. Ceci contraste avec la situation en géométrie riemannienne où, par exemple, la courbure est un invariant local qui permet de distinguer un point d’un autre. Dans un manifeste riemannien, on peut toujours choisir des coordonnées qui rendent la métrique en un point donné identique à la métrique euclidienne, mais en général, ce n’est pas possible dans tout l’environnement du point. En revanche, dans un collecteur symplectique, les coordonnées qui rendent la forme symplectique canonique peuvent être étendues à tout l’environnement du point.
Références
c dans l’intervalle