En mathématiques, le théorème rang-nul est un théorème d’algèbre linéaire qui stipule que la dimension du domaine d’une transformation linéaire est la somme de son rang (la dimension de son image) et de son nul (la dimension de son noyau).
Théorème
Soit
V
{displaystyle V}
y
W
{\displaystyle W}
espaces vectoriels avec
dim
V
+
∞
{ « displaystyle dim V<+" }
et être
T
:
V
→
W
{displaystyle T:V → W}
une transformation linéaire alors
où
c’est-à-dire
Démonstration
La mer
T
:
V
→
W
{displaystyle T:V → W}
une transformation linéaire. Supposons que l’ensemble
{
u
1
,
…
,
u
m
}
∈
{« displaystyle » colour « net » « mathbf ». {{1},\ldots ,\mathbf {u} _{m}color {black} V}
forme une base du noyau de T, (ker T). Par le théorème d’extension des bases, nous pouvons étendre cet ensemble pour former une base de V :
{
u
1
,
…
,
u
m
,
1
,
…
,
w
n
}
∈
V
{« displaystyle », « colour », « net ». _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{m}color {black},{blue} {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{n},couleur {noir},V}
. Puisque la dimension du noyau de T est m et que la dimension de V est m + n, il suffit de montrer que la dimension de l’image de T (im T) est n.
Voyons que l’ensemble
{
T
w
1
,
…
,
T
w
n
}
∈
W
{« displaystyle », « colour », « blue », « Tmathbf », « w », « w », « w », « w », « w », « w », « w », « w ». _{1},\ldots ,T\mathbf {w} _{n}couleur {noir} W}
est une base de im T. Pour cela, il faut montrer qu’elle engendre im T et qu’elles sont linéairement indépendantes.
Soit v un vecteur arbitraire dans V. Il existe des scalaires uniques tels que :
Par conséquent,
{
T
w
1
,
…
,
T
w
n
}
{« displaystyle », « colour », « blue », « Tmathbf », « w », « w », « w », « w », « w », « w », « w », « w ». _{1},\ldots ,T\mathbf {w} _{n}couleur {noir}}}}
génère l’im T.
Il suffit maintenant de montrer que l’ensemble
{
T
w
1
,
…
,
T
w
n
}
{« displaystyle », « colour », « blue », « Tmathbf », « w », « w », « w », « w », « w », « w », « w », « w ». _{1},\ldots ,T\mathbf {w} _{n}couleur {noir}}}
est linéairement indépendant. Nous pouvons le faire en montrant qu’une combinaison linéaire de ces vecteurs est nulle si et seulement si le coefficient de chaque vecteur est nul. Soit :
Alors, puisque ui génère ker T, il existe un ensemble de scalaires di tel que :
Mais, puisque l’ensemble
{
u
1
,
…
,
u
m
,
w
1
,
…
,
n
}
{ « displaystyle » { « colour » { « red » { « mathbf » {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{m}color {black},{blue} {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{n}color {noir}}}
forme une base de V, tous les scalaires ci, di doivent être nuls. Par conséquent,
{
T
w
1
,
…
,
T
w
n
}
{« displaystyle », « colour », « blue ». _{1},\ldots ,T\mathbf {w} _{n}color {black}}}
est linéairement indépendant et forme une base de im T. Cela prouve que la dimension de im T est n, comme souhaité.