En théorie des groupes, un groupe nilpotent est un groupe « presque » abélien. Plus précisément, il existe toujours un nombre naturel n tel que, en appliquant l’opération de commutation, = ,…,],xn] à tout élément x1,x2,…,xn du groupe, on obtient toujours l’identité. Les groupes nilpotents sont utilisés dans la théorie de Galois, ainsi que dans la classification des groupes finis. Ils apparaissent également dans la classification des groupes de Lie.
Définition
Nous commençons par définir la série centrale descendante d’un groupe G. Etant donné deux sous-ensembles A et B de G, on définit le commutateur comme le sous-groupe de G engendré par tous ceux qui ont x dans A et y dans B, alors la série centrale descendante est A0= G, A1 = , A2 = et en général Ai+1 = . Il est clair que A1 = = = G1, est le commutateur de G.
Si G est abélien, alors = {e}, le sous-groupe trivial. En étendant cette idée, nous dirons qu’un groupe G est un groupe nilpotent s’il existe un entier naturel n tel que An est trivial. Si n est le plus petit entier naturel pour lequel An est trivial, nous dirons que G est nilpotent de classe n. Le sous-groupe trivial est de classe 0, tous les groupes abéliens sauf le trivial sont de classe 1. Les groupes nilpotents de classe 2 sont également appelés groupes métabéliens.
Propriétés
Comme tout quotient Zi+1/Zi est abélien et que la série est finie, tout groupe nilpotent est un groupe résoluble dont la structure est relativement simple (du moins dans le cas des groupes finis).
Tout sous-groupe d’un groupe nilpotent de classe n est nilpotent de classe m com m inférieur ou égal à n. De plus, si f est un morphisme dont le domaine est un groupe nilpotent de classe n, alors l’image de f est nilpotente de classe au plus n.
Les énoncés suivants sont équivalents pour les groupes finis :
Le dernier énoncé a un corrélat dans le cas des groupes qui ne sont pas finis : si G est un groupe nilpotent, alors chaque sous-groupe de Sylow Gp de G est normal et la somme directe de ces sous-groupes de Sylow est le sous-groupe de tous les éléments d’ordre fini dans G (voir sous-groupe de torsion).