Le modèle vibrationnel et rotationnel des noyaux tente de décrire les propriétés des noyaux atomiques sans avoir recours à leur structure interne. Sa méthode consiste à utiliser des coordonnées collectives pour décrire le mouvement de la « surface » du noyau.
Développement
Le modèle part de la forme explicite du hamiltonien vibrationnel, qui constitue l’une des premières approximations des modèles collectifs de noyaux. Pour paramétrer la surface nucléaire, les coordonnées collectives sont utilisées par commodité. Ces coordonnées
α
[
λ
]
=
{
α
λ
μ
}
μ
=
–
λ
μ
=
λ
{« displaystyle » = « alpha ».
sont établies à partir du développement de la surface du noyau en harmoniques sphériques :
R
(
θ
,
ϕ
,
t
)
=
R
0
[
1
+
∑
λ
,
μ
(
–
1
)
μ
α
λ
–
μ
(
t
)
Y
λ
μ
(
θ
,
ϕ
)
]
.
{displaystyle R(\theta ,\phi ,t)=R_{0}left.}
Ainsi, les coordonnées collectives décrivent les oscillations de la surface nucléaire.
Les coordonnées se transforment en un tenseur de rang
λ
{displaystyle }
sous la représentation
(
2
λ
+
1
)
–
{ {displaystyle (2lambda +1)- }
dimensionnel de
S
O
(
3
)
{ « displaystyle » {SO(3)} }
de la forme :
où
D
ν
μ
λ
(
θ
i
)
{ {displaystyle D_{mu }^{lambda }(\theta _{i})}
forment la représentation irréductible du groupe.
Ces nouvelles coordonnées
a
λ
μ
{displaystyle a_{lambda }}
seront les coordonnées collectives vues à partir d’un cadre de référence tourné par rapport à celui de la première équation. Pour décrire la surface nucléaire en termes de nouveau cadre de référence (cadre intrinsèque), les harmoniques sphériques doivent également être transformées (et donc changer les angles d’Euler) de sorte que,
Dans le MRV, nous nous concentrerons sur
α
2
μ
{« displaystyle ».
; puisque
λ
=
0
{displaystyle \lambda =0}
affecte les changements de volume et nous considérons la matière nucléaire incompressible,
λ
=
1
{displaystyle \lambda =1}
affecte les translations du centre de masse. Par conséquent, nous décrirons les oscillations quadripolaires : noyaux déformés axialement.
Ces oscillations autour d’une configuration stable seront faibles, et nous pouvons supposer que l’énergie potentielle en fonction des coordonnées du quadripôle sera donnée par la forme.
V
(
α
[
2
]
)
=
5
2
C
2
[
α
[
2
]
⊗
α
[
2
]
]
[
0
]
+
C
3
[
[
α
[
2
]
⊗
α
[
2
]
]
0
]
⊗
α
[
2
]
]
[
0
]
+
{\displaystyle V(\alpha ^{})={\frac {\sqrt {5}}{2}}C_{2}\left}\otimes \alpha ^{}\right]^{}+C_{3}\left}\otimes \alpha ^{}\right]^{}\les \alpha ^{}\right]^{}\les \alpha ^{}\right]^{}+}
⋯
+
C
4
[
α
[
2
]
⊗
α
[
2
]
]
[
0
]
[
α
[
2
]
⊗
α
[
2
]
]
[
0
]
+
…
{ { « displaystyle » + « C_{4} »} + « alpha » + « alpha » + « times » + « times » + « times » }
où nous pouvons l’exprimer en termes de coordonnées
a
λ
μ
{{displaystyle a_{lambda }}
car il s’agit d’un scalaire. Pour la même raison, nous couplons à zéro dans chaque sommation. Les paramètres
C
i
{« displaystyle C_{i}}
sont des paramètres de rigidité.
Nous rendons les couplages explicites (coefficients de Clebsh-Gordan) et obtenons.
Le potentiel a un minimum à la position
(
a
0
,
a
2
)
=
(
β
0
,
0
)
{ {displaystyle (a_{0},a_{2})=(\beta _{0},0)}
comme le montre la figure. En supposant de petites oscillations, je peux développer le potentiel autour de cette position minimale à partir d’une translation donnée par
ϵ
{displaystyle \epsilon }
y
η
{displaystyle }
, des écarts par rapport à la situation d’équilibre. En n’incluant que des termes quadratiques dans le développement, le potentiel demeure :
L’énergie cinétique classique sera :
en explicitant les couplages et les moments conjugués
π
[
2
]
{{{pi ^{}}}
nous pouvons obtenir l’expression familière de l’énergie cinétique classique, .
ayant dû passer des coordonnées du laboratoire à celles du système intrinsèque et, ce faisant, arriver à la construction des moments d’inertie
I
k
.
{I_{k}.
Le paramètre B est un terme de masse.
Dans un processus de quantification de l’énergie cinétique classique, nous arrivons aux expressions suivantes pour l’énergie cinétique
T
=
T
r
o
t
+
T
v
i
b
{\displaystyle T=T_{rot}+T_{vib}}
:
et l’hamiltonien prend la forme.